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Não precisa fazer nada do que você fez; basta achar a interseção entre a reta e a circunferência e depois calcular a distância entre esses dois pontos.

x ² + y ² - 4x - 2y + 4 = 0

x - y = 0 => x = y

Substitua esse valor na equação da circunferência,

x ² + x ² - 4x - 2x + 4 = 0

2x ² - 6x + 4 = 0 {Simplifique dividindo todos os termos por 2}

x ² - 3x + 2 = 0

x ' = 2

x " = 1

Como x = y,

Para x ' = 2 => y ' = 2

Para x " = 1 => y " 1

Os pontos de interseção serão:

Chamando a corda de AB,

A (2; 2)

B (1; 1)

d ² = (Xa - Xb) ² + (Ya - Yb) ²

d ² = (2 - 1) ² + (2 - 1) ²

d ² = 1 + 1

d ² = 2

d = √2 {unidades não fornecidas}