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Je vous propose de vous rendre sur :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de...

à la partie démonstration. C'est très clair et bien écrit.

le théorème est plus général que celui que tu énonces. L'hypothèse x tend vers l'infini ne sert à rien. La règle de l'hôpital est valable pour la limite en n'importe quelle "valeur" de R(barre)

Les hypothèses sont:

f et g dérivables au voisinage de a avec f(a)=g(a)=0 et g' ne s'annulle pas au voisinage de a (la continuité de f n'est pas suffisante contrairement à la "démonstration" précédente)

Le théorème de Rolle généralisé nous donne: il existe c tel que:

[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]*f'(c) avec c compris entre a et b

d'où: si f(a)=g(a)=0

f(b)/g(b)=f'(c)/g'(c)

Comme f'(x)/g'(x) a une limite en a, f/g a la même limite en a.

Il manque des hypotheses genre f et g continue au voisinage de x0 ici l infini sinon chgt de variable x=1/y y au voisinage de 0

donc f(y) = (y-y0)f'(y) + f( y0) par continuité f(y0)=g(y0)=0

ainsi que pour g voila ta démo

à ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++