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essendo le tensioni e deformazoni piccole si ammette che le une possano essere espresse come combinazione lineare delle altre.

le componenti di tensioini e deformazioni sono 9 e pertanto i coefficienti che legano dette quantità sono in teoria 9x9=81. però per considerazioni di simmetria le tensioini e deformazioni sono 6 e non 9 quindi le costanti si riducono a 6x6=36. poi, per considerazioni che attengono al fatto che il sistema delle tensioni e deformazioni sia un sistema conservativo, si hanno altre 15 relazioni per cui i coefficienti di elasticità si riducono da 36 a 21. poi, nei corpi isotropi, mediante considerazioni sul calcolo della densità di energia di deformazione che deve rimanere costante al cambiare verso agli assi e/o a permutare gli assi stessi, deriva che rimangono diverse da zero solo 3 costanti di elasticità: E modulo di el. nornale, G modulo di el. tangenziale e 1/m modulo di Poisson (tra l'altro i tre parametri sono legati da una relazione). in questo modo il legame fra le tau e le gamma si semplifica in questo modo: Tau i,k=G*Gamma i,k. quindi se fra due direzioni ortogonali si annulla lo scorrimento relativo cioè se le direzioni i e k sono principali per la deformazione esse lo diventano anche per la tensione e viceversa.

Perché essendo le deformazioni una conseguenza delle tensioni (in un materiale perfettamente elastico si avrà un corpo in una configurazione deformata C* fintantoché sarà sottoposto a delle tensioni).

In un materiale isotropo non importa che tipo di tensione ci sarà (taglio, momento o sforzo normale) , tanto la risposta del materiale sarà una naturale conseguenza dello sforzo in questione

Esempio:

Supponiamo un cubo sottoposto a sforzi normali N (compressione) su ogni faccia.

Lo matrice delle tensioni nel centro del cubo sarà:

t11 | 0 | 0

0 |t22| 0

0 | 0 |t33

Abbiamo la matrice delle deformazioni che si calcola come

D = T X ε

dove la matrice ε è

∂u1/∂x ......................| 1/2(∂u1/∂x + ∂u2/∂x) | 1/2(∂u1/∂x +∂u3/∂x )

1/2(∂u2/∂x + ∂u1/∂x)..,|..........∂u2/∂x.............|1/2(∂u2/∂x + ∂u3/∂x)

1/2(∂u3/∂x + ∂u1/∂x)...|...1/2(∂u3/∂x + ∂u2/∂x)|..........∂u3/∂x.........

Se fai il prodotto vettoriale trovi

t11*∂u1/∂x | 0 | 0

0................|t22*∂u2/∂x| 0

0................| ..... |t33*∂u3/∂x

Che come vedi ha la stessa direzione della matrice T

Nel caso di un materiale non isotropo (legno per esempio) non si può assumere la matrice ε come sopra, perché le fibre, supponendo che siano orientate con x3, possono deformarsi diversamente a seconda della direzione delle tensioni...è tutto molto più complesso proprio per la natura contorta del legno...