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Non me ne intendo molto di queste cose ma a naso direi che una procura è una sorta di autorizzazione a compiere alcuni atti per conto di altri. Il fatto di essere autorizzati non obbliga comunque a compiere quell'atto. Si potrebbe essere per esempio autorizzati a ritirare del denaro da un conto bancario senza essere per questo obbligati a farlo. Il mandato, invece, mi sembra che obblighi a fare determinate cose e a rendere conto di quanto si è fatto. Un'altra differenza mi sembra possa consistere nel fatto che la procura autorizzi a fare determinate azioni anche più di una volta mentre il mandato potrebbe essere limitato a una sola volta.

La delega e la rappresentanza, sempre a naso, implicano la presenza fisica di chi fa in vece di un altro. Per la delega (come per il mandato) si è autorizzati a fare una determinata cosa solo una volta mentre la rappresentanza potrebbe comportare la ripetizione degli atti.