Como la fórmula para el área de un polÃgono regular es a=(perÃmetro)*(apotema)/2 se necesita saber cuanto mide un lado del hexágono.
En un hexágono regular el apotema es igual a la altura de un triángulo equilátero en el cual uno de sus lados mide lo mismo que un lado del hexágono.
Para un triángulo equilátero L² = (L/2)²+h² donde L=un lado del triángulo y h=altura del triánglo
Por ser un hexágono regular, su lado mide lo mismo que podemos dividir esta figura en 6 triángulos equiláteros. Entonces, como el área del hexágono regular se calcula (perÃmetro x apotema) /2 :
Perimetro= 5(raiz)3 x 6 = 30(raiz)3
Area= ( 30(raiz)3 x 5(raiz)3 )/2 = (150 x 3) 2 = 450/2 = 225
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Se forman 12 triangulos rectangulos, cada uno con las medidas siguientes:
A=30°
B=60°
C=90°
a=(mitad del lado del del hexagono) =?
b=5(raiz)3=8.66
c=hipotenusa del triangulo
a=b Tan A
a=8.66 x 0.57735
a=5
a x 2 = 10 << = (lado del exagono)
Perimetro=60
Area del exagono=(P x a)/2
A=(60 x 8.66)/2
A=259.8 unidades cuadradas <<<=== (respuesta)
Como la fórmula para el área de un polÃgono regular es a=(perÃmetro)*(apotema)/2 se necesita saber cuanto mide un lado del hexágono.
En un hexágono regular el apotema es igual a la altura de un triángulo equilátero en el cual uno de sus lados mide lo mismo que un lado del hexágono.
Para un triángulo equilátero L² = (L/2)²+h² donde L=un lado del triángulo y h=altura del triánglo
despejando L: L² = L²/4 + h² . . . . . L²- L²/4 = h² . . . . L²3/4 = h² . . . . L² = 4h²/3
sustituyendo L² = 4(5â3Ì )²/3 =4*25*3/3 = 900 . . de aquà . . L= â1Ì 0Ì 0Ì = 10
Entonces el área del hexágono es: A=(6*L)*a/2 . . . . A = (6*10)*(5â3Ì )/2 = 259.81
NOTA: También pudo calcularse la medida de un lado por trigonometrÃa si la sabemos usar.
Entre el apotema, 1/2 de un lado y el radio del cÃrculo circunsrito (es en el que están todos los lados del polÃgono regular) se forma un triángulo rectángulo. El ángulo que tiene como vértice el centro del circulo mide 360/2n donde n es el número de lados.
Para el hexágono el ángulo es: ϴ=360/(2*6)=30º
Usando la función trigonométrica Tanϴ =(cateto opuesto)/(cateto adyacente)
en este caso cat.op.=1/2 del lado (= L/2) . . . y . . . cat.ady.=apotema
entonces Tan30=(L/2)/ap . . . despejando L = 2*(Tan30)*ap
. . . . Tan30 = 1/â3Ì . . . (lo encuentras en tablas trigonométricas o calculadora cientÃfica)
L = 2*(1/â3Ì )*5â3Ì = 10
. . . A = (6*10)*(5â3Ì )/2 = 259.81
Por ser un hexágono regular, su lado mide lo mismo que podemos dividir esta figura en 6 triángulos equiláteros. Entonces, como el área del hexágono regular se calcula (perÃmetro x apotema) /2 :
Perimetro= 5(raiz)3 x 6 = 30(raiz)3
Area= ( 30(raiz)3 x 5(raiz)3 )/2 = (150 x 3) 2 = 450/2 = 225
area = perimetro * apotema / 2
area = 6 ap cos 30 * ap / 2
area = 3 ap^2 cos 30
area = 3 ap^2 raiz (3) / 2
area = 3 ( 5 raiz (3) )^2 raiz (3) / 2
area = 3 ( 25 * 3 ) raiz (3) / 2
area = 225 raiz (3) / 2
area = 194,86