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Nell'incastro la sezione retta della trave rimane nella posizione in cui si trovava prima del carico, perchè non può ruotare. perciò la linea elastica rimane tangente alla linea indeformata. Se però l'incastro è cedevole la linea elastica sarà inclinata di conseguenza.

Se il vincolo è un appoggio, allora la sezione della trave può ruotare ma non può abbassarsi quindi la line elastica parte dal punto di appoggio (anche qui: sempre che il vincolo non sia cedevole). Tutte queste condizioni sui vincoli le metti dentro le equazioni che ti fanno ricavare la linea elastica (come costanti di i tegrazione) quando passi dalla funzione momento flettente all'andamento delle rotazione e a quello delle frecce.

l'equazione della linea elastica fornisce il valore dell'abbassamento subito da qualunque punto lungo la trave per effetto dei carichi esterni rispetto alla configurazione deformata.

l'equazione di partenza per arrivare a determinare l'eq della linea elastica è sostanzialmente l'equazione che descrive l'andamento del momento flettente lungo la trave.

Data una trave sottoposta ad un certo carico esterno, possiamo descrivere matematicamente tale carico esterno con una funzione nella variabile x (ascissa lungo la trave), da tale funzione possiamo ottenere

integrando una volta la funzione che descrive l'andamento del taglio, ottenenedo l'eq del momento, integrando 1 altra volta e dividendo tutto per il prodotto EJ (dove E è il modulo elastico del materiale costituente la trave, e J è il momento d'inerzia della sezione della trave rispetto all'asse attorno al quale la trave si inflette) otteniamo l'equazione delle rotazioni,integrando un'altra volta l'eq delle rotazioni otteniamo l'eq della linea elastica o degli abbassamenti,

capisci quindi che se tu sai determinare l'equazione del momento

integrando 2 volte e dividendo per EJ, ottieni l'eq della linea elastica,

dalle 2 derivazioni però, saranno presenti 2 costanti di integrazione incognite,per esplicitare tali costanti di integrazione , basta che tu dia 2 condizioni al contorno sui vincoli, ad esempio se all'ascissa x = 0 hai un appoggio,sai che in tale sezione l'appoggio impedisce l'abbassamento che evidentemente sarà nullo,e basta che sostituisci lo 0 ad x nella eq della linea elastica ed uguagli tutto a 0 per esplicitare una delle 2 costanti di integrazione,dando un'altra condiz al contorno espliciti anche l'altra, ed ottieni così l'eq della linea elastica nella sua forma esplicita, dalla quale puoi ottenere il valore dell'abbassamento in ogni punto lungo la trave semplicemente sostituendo all'unica incognita nell'equazione che è l'ascissa lungo la trave(ossia la x) la coordianata della sezione su cui vuoi calcolare l'abbassamento.

la deformata elastica segue l'andamento che la struttura tende a prendere con sollecitazione ad un certo carico.

ad esempio nei vincoli la linea elastica coincide con la struttura.