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Pour plus d'explications que juste "-2i" ci-dessus :

e^ix = cos x + i.sin x

D'où :

e(-iπ/6) = cos (-π/6) + i.sin(-π/6)

= √3/2 + i.(-1/2)

e(-3iπ/6) = e(-iπ/2) = cos (-π/2) + i.sin(-π/2)

= i.(-1)

e(-5iπ/6) = cos (-5π/6) + i.sin(-5π/6)

= -√3/2 + i.(-1/2)

La somme de :

e(-iπ/6) + e(-3iπ/6) + e(-5iπ/6) est donc égale à :

= √3/2 + i.(-1/2) + i.(-1) - √3/2 + i.(-1/2)

= -2i

En plus simple, tu prend les 3 angles proposés (-π/6, -π/2 et -5π/6) et tu prends la composante cos de chaque que tu additionnes (cela s'annule). Tu fais de même pour les composantes sin (qui correspondent à -1/2 - 1/2 - 1) et cela donne 0 - 2i

cos(30°)+cos(90°)+cos(150°)=0

car cos(150°)=-cos(30°) et cos(90°)=0

sin(-30°)+sin(-90°)+sin(-150°)=-2

car sin(-30°)=-sin(30°)=-1/2

sin(-90°)=-1

sin(-150°)=-sin(150°)=-sin(30°)=-1/2

d'où le résultat -2i donné par les autres

on utilise la formule d'Euler exp(ia)=cos(a)+isin(a)

S=exp(-ipi/6)(1+exp(-i2pi/6)+exp(-i4pi/6))

=exp(-ipi/6)(1-exp(-ipi))/(1-exp(-i2pi/6))

exp(ix)=cos(x)+isin(x)

Ca fait -2i.

exp(-i(3Pi/6)) = exp(-i*Pi/2) = -i

exp(-i*Pi/6) = cos(-Pi/6) + i sin(-Pi/6) = cos(Pi/6) - i sin(Pi/6) = rac(3) / 2 - 1/2 i : j'ai utilisé les formules cos(-x) = cos(x) et sin (-x) = sin(x)

exp(-5i*Pi/6) = exp(-5i*Pi/6 + 2iPi) = exp(7i*Pi/6) = cos(7i*Pi/6) + i sin(7*Pi/6) = -cos(Pi/6) - i sin(Pi/6) = -rac(3)/2 - i/2 : j'ai utilisé cos(Pi + x) = -cos(x) et sin(Pi + x) = -sin(x) et j'ai également utilisé exp(i(x+2Pi)) = exp(ix) : un tour du cercle trigonométrique

Finalement : -i +rac(3)/2 - i/2 -rac(3)/2 - i/2 = -2i