Hola, soy estudiante de matematicas y el proximo semestre iniciare con mi primer curso de analisis donde basicamente se trabajara en la demostracion de los teoremas del calculo diferencial, he visto que mucho presentan inconvenientes en esta materia y es por ello que estoy interesado en empezar a prepararme para este curso.
He notado que basicamente en la demostracion de la mayoria de los teoremas del calculo diferencial por ejemplo el teorema del encaje se suelen escoger unos valores arbitrarios por ejemplo en la mayoria de los texto estos valores son un epsilon y un delta (en el caso del delta casi siempre es un delta uno, un delta dos y un delta tres). y es aqui donde va mi pregunta.
¿como saber cuantos deltas escoger y como utilizarlos?
¿cual es la relacion que existe entre los deltas y el epsilon ?.
gracias agradezco cualquier colaboracion.
me gustaria tambien que si conocen alguna fuente (sitio web o libro donde se explique detalladamente esto me lo hagan saber ).
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Hola
Teorema del emparedado:
Sean xn ,yn y an sucesiones tales que xn<=an<=yn, si xn converge a x e yn converge a x, siendo x∈R,
entonces podemos asegurar que la sucesion an converge a x.
Demostracion:
Supongamos ciertas todas las hipótesis citadas con anterioridad. Sea la desigualdad
xn<=an<=yn, sin pérdida de generalidad, si le restamos un x∈R en cada miembro la desigualdad no varía y resulta
xn-x<=an-x<=yn-x. Ahora, podemos tener en cuenta que:
|an-x|<=máx{|xn-x|,|yn-x|} y que
máx{|xn-x|,|yn-x|}<=|xn-x|+|yn-x|
donde máx hace referencia al máximo de un conjunto
y |q| es el valor absoluto de q
Por hipótesis, xn converge a x luego |xn-x| converge a 0. Análogamente, |yn-x|
converge a 0. Por tanto la suma de ambas también converge a 0.
Ahora a cambiado la desigualdad para tener:
|an-x|<=máx{|xn-x|,|yn-x|}<=0; Como se cumple
máx{|xn-x|,|yn-x|}<=0 y tenemos que 0<=máx{|xn-x|,|yn-x|}
(por tener valor absolouto)
Entonces ahora nuesta desigualdad pasa a ser:
|ax-x|<=0, que, además, por ser valor absoluto es: 0<=|ax-x|<=0.
De donde deducimos trivialmente que |ax-x| converge a cero. Estudiando la definición
de convergencia de sucesiones, ésto es completamente análogo a decir que
ax converge a x, como se quería demostrar.
En cuanto a las definiciones de tipo épsilon-delta sólo decirte que comprendas exactamente
qué es lo que estás haciendo a cada paso y verás como no es tan complicado.
El hecho de tomar a veces epsilon/2 o cualquier otro radica en que las cuentas 'cuadren' y al final en la demostracion acabe saliendo que es <epsilon
Espero que te sea de ayuda
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