Hola,

∫ sen⁴(2x) cos⁴(2x) dx =

escribámosla como:

∫ [sen(2x) cos(2x)]⁴ dx =

apliquemos la fórmula del ángulo doble 2senθ cosθ = sen(2θ) de donde

senθ cosθ = (1/2)sen(2θ):

∫ {(1/2)sen[2(2x)]}⁴ dx =

∫ (1/2)⁴sen⁴(4x) dx =

∫ (1/16)sen⁴(4x) dx =

reescribamos esto como:

∫ (1/16)[sen²(4x)]² dx =

escribamos el argumento 4x como (8x)/2:

∫ (1/16){sen²[(8x)/2]}² dx =

apliquemos la fórmula del ángulo medio sen²(θ/2) = (1 - cosθ)/2:

∫ (1/16) {[1 - cos(8x)] /2}² dx =

∫ (1/16) {[1 - cos(8x)]² /4} dx =

(desarrollando el cuadrado)

∫ (1/64) [1² - 2cos(8x) + cos²(8x)] dx =

escribamos el argumento de cos²(8x) como (16x)/2:

∫ (1/64) {1 - 2cos(8x) + cos²[(16x)/2]} dx =

apliquemos la fórmula del ángulo medio cos²(θ/2) = (1 + cosθ)/2:

∫ (1/64) {1 - 2cos(8x) + {[1 + cos(16x)] /2} } dx =

∫ (1/64) {1 - 2cos(8x) + (1/2)[1 + cos(16x)]} dx =

∫ (1/64) [1 - 2cos(8x) + (1/2) + (1/2)cos(16x)]} dx =

∫ (1/64) [(3/2) - 2cos(8x) + (1/2)cos(16x)]} dx =

∫ [(3/128) - (1/32)cos(8x) + (1/128)cos(16x)] dx =

(partiendo en tres integrales y sacando las constantes)

(3/128) ∫ dx - (1/32) ∫ cos(8x) dx + (1/128) ∫ cos(16x) dx =

(3/128)x - (1/32) ∫ cos(8x) dx + (1/128) ∫ cos(16x) dx =

cuanto a las restantes integrales, dividamos y multipliquemos cada integral por la derivada del argumento del integrando:

(3/128)x - (1/32)(1/8) ∫ cos(8x) 8 dx + (1/128)(1/16) ∫ cos(16x) 16 dx =

(3/128)x - (1/256) ∫ cos(8x) d(8x) + (1/2048) ∫ cos(16x) d(16x) =

en fin apliquemos la regla de integración ∫ cos[f(x)] d[f(x)] = sen[f(x)] + C,

concluyendo con:

(3/128)x - (1/256)sen(8x) + (1/2048)sen(16x) + C

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

1/10sen^5 (2x) 1/10sen^5(2x)

usa esta pagina te explica paso por paso ,muy util.

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