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Edit1

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On pose Un = x^n/n!

U(n+1)/Un =x/(n+1)

Soit n0 = E(2x)

pour n>n0, U(n+1)/Un < 1/2

D'où 0 < Un < Un0 *(1/2)^(n-n0)

et lim Un = 0

Soit un=x^n/n!

u(n+1)/un=x^(n+1)n!/(n+1)!x^n

=x/(n+1) qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Donc la série de terme général un converge (c'est un critère de convergence d'une série).J'espère que tu as vu les séries.

Donc un tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

J'ai pas trouvé mieux,on fait ce qu'on peut!!!

Si tu en as le droit tu peux utiliser la formule de Stirling.

Soit Un la suite défini par Un = x^n/n! (x étant un réél positif fixé (le cas x négatif se traîte de façon analogue))

On a U_{n+1} /Un = x/(n+1) --> 0 quand n --> oo

Donc il existe p dans IN tel que pour tout n>p U_{n+1} /Un < 1, ou encore U_{n+1} < Un. Donc la suite Un est décroissante à partir d'un certain rang. Ainsi Un est convergeante (car décroissante et minorée par 0) et sa limite a est supérieur ou égale à zéro.

Il s'agit maintenant de montrer que a = 0.

Supposons que a>0 (car x>0) alors lim (n->oo) Un = a <==> quelque soit epsilon > 0, il existe un rang N tel que pour tout n>N , -epsilon + a < Un < epsilon + a. En particulier pour epsilon = a/2 > 0, on a : Un > a/2 pour tout n > N

Soit maintenant Sn la suite donnée par la somme des Um, m=0..n

Pour n>N, on a

Sn = somme_{m=1,n} Um = somme_{m=1,N-1} Um + somme_{m=N,n} Um > somme_{m=1,N-1} Um + somme_{m=N,n} a/2 > somme_{m=1,N-1} Um + (n-N+1)a/2

donc lim (n->oo) Sn > lim (n->oo) (n-N+1)a/2 --> oo

Or, d'un autre côté, on sait que lim (n->oo) Sn = exp(x) (c'est le développement limité de la fonction exponentielle). D'où la contradiction. Et donc a = 0 CQFD

Tu démontres que pour tout epsilon >0, tu peux trouver n tel que l'expression est inférieure à epsilon.

Edit 1 :

En pratique, il faut trouver une expression majorante M de x^n/n!, pour laquelle n sera facile à calculer.

si M < epsilon, alors x^n/n! < M < epsilon

La formule de Stirling est inutile pour cette démonstration.

Tu oublies de préciser pour n tendant vers l'infini.