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Per definizione, R^n (R elevato alla n) è l'insieme uguale al prodotto cartesiano di "n" insiemi di numeri reali. Cerco di spiegarmi meglio:

considera due insiemi A e B. Il prodotto cartesiano A x B è definito in questo modo:

A x B := { (a,b) | a € A, b € B }

Il simbolo (a,b) si chiama "coppia ordinata" formata dagli elementi "a" e "b". In una coppia ordinata è importante l'ordine con cui vengono a trovarsi i due elementi. Infatti:

(a,b) ≠ (b,a) per definizione!

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è quindi l'insieme delle coppie ordinate (a,b) tali che "a" appartiene ad A e "b" appartiene a B.

La definizione di prodotto cartesiano si può estendere anche a più insiemi. Per esempio, dati tre insiemi A, B e C, risulta:

A x B x C := { (a,b,c) | a € A, b € B, c € C}

che è in sostanza l'insieme delle terne ordinate (a,b,c) tali che "a" appartiene ad A, "b" appartiene a B e "c" appartiene a C.

Ora, immagina che gli insiemi considerati finora siano tutti uguali all'insieme R dei numeri reali, e applichiamo la definizione di prodotto cartesiano introdotta poco fa:

R x R := { (a,b) | a € R, b € R }

R x R x R := { (a,b,c) | a € R, b € R, c € R }

Per semplicità, si pone sempre R x R = R² e R x R x R = R³.

Ora, generalizzando per "n" insiemi di numeri reali, otteniamo la definizione di R^n:

R^n = R x R x ...... x R = { (a,b, .....,n) | a € R, b € R, ......, n € R }

Con questa definizione risulta anche semplice introdurre il concetto di ennupla (n-pla): un'ennupla non è altro che un raggruppamento di "n" oggetti (elementi) in cui è importante l'ordine con cui essi vengono elencati. Utilizzando questa definizione, scopriamo che un'ennupla composta da 2 soli elementi (cioè quando n=2) è una coppia ordinata, un'ennupla composta da 3 elementi (cioè quando n=3) è una terna ordinata, per n=4 otteniamo una quaterna...... e così via.

Inoltre, in base alla definizione dell'insieme R^n data poco fa, scopriamo che gli elementi di tale insieme sono proprio le ennuple i cui elementi appartengono tutti all'insieme dei numeri reali, sono cioè numeri reali.

Quindi, siamo ora in grado di definire correttamente l'insieme R^n: esso è l'insieme delle ennuple i cui elementi appartengono tutti quanti all'insieme dei numeri reali.

Spero di esserti stato utile, se hai bisogno di ulteriori chiarimenti contattami pure. Ciao!!

la n-pla (ennupla) è un elenco di termini che sono in successione secondo una formula, ed è diverso da un insieme appunto perchè è una successione ordinata, tu puoi riconoscere il posto di un numero, (se è il primo, secondo, .. n-esimo) per esempio, mentre in un insieme no.

l'R alla n indica in quale spazio vettoriale ti trovi, di quante dimensioni è. per capirci, il nostro mondo è in Ralla3 in quanto hai tre dimensioni, sul piano cartesiano sei in Ralla2 xk hai due dimensioni.. le altre non riusciamo (ancora) a pensarle, magari in un futuro si.. quello che conta è non tanto immaginarle xò.. in quanto le devi usare lo stesso :D

in geometria analitica ti serve la potenza della R sostanzialmente per capire di quanti elementi è composta una base