Tangente di X³ in X=0?
Usando le derivate viene che la tangente è X=0. Tuttavia questa retta non mi sembra tangente, sembra secante. Forse la funzione non è derivabile in questo punto? Se questa è invece la corretta tangente, qual è allora la definizione di "retta tangente"?
Con lo stesso criterio per cui questa è una tangente, allora ogni retta che interseca X³ in un punto solo diventa una tangente, cosa che non è vera. Non ne vengo fuori.
Answers & Comments
Vedo che non hai le idee chiare. Il concetto di tangente è strettamente legato
alle derivate. Una curva (diagramma di una funzione) ammette tangente in
un punto xo del suo dominio se la funzione è derivabile nel detto punto.
Per definizione la retta tangente ha l'equazione
y - f(xo) = f '(xo) (x - xo) se f '(xo) è finita;
se f '(xo) è infinita l'equazione della tangente è x = xo.
La tangente in un punto a una curva algebrica ha un'intersezione almeno doppia,
quindi l'equazione della tangente si può trovare anche per via algebrica.
Veniamo al nostro caso. La funzione ha equazione y = x^3; la derivata prima è
y ' = 3 x^2.
L'equazione della tangente nel punto xo = 0 è quindi y = 0 (non x = 0).
Che la tangente attraversi la curva significa semplicemente che il punto xo = 0
è di flesso (puoi infatti verificare che y ''(0) = 0, y '''(0) = 6 =/= 0).
La frase "allora ogni retta che interseca x³ in un punto solo diventa una tangente"
è incomprensibile. Infatti ogni retta interseca una cubica in 3 punti (uno almeno
reale).
Consideriamo ad esempio il punto (1, 1); avremo y '(1) = 3, con l'equazione della
tangente y - 1 = 3 (x - 1), ovvero y = 3 x - 2.
Il sistema y = 3 x - 2, y = x^3 ha la risolvente x^3 - 3 x + 2 = 0, ovvero
(x + 2) (x - 1)^2 = 0. Notare che la soluzione doppia x = 1 indica appunto tangenza.
L'altra soluzione, x = - 2 indica la terza intersezione della retta tangente con
la curva.
1. Si dice... tangente A (e non DI) y=x^3
2. In x=0 detta curva ha un FLESSO con tangente orizzontale y=0 (asse x)