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Sabe-se, de acordo com o teorema de Binet, que:

det(A.B) = det(A).det(B)

Portanto,

det(2A.Aᵗ) = det(2A).det(Aᵗ) (I)

Por outro lado, sabe-se que, se uma matriz quadrada A for multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por k^n:

det (k.A) = k^n.det A

Como, no nosso caso, a ordem da matriz é 3, temos n = 3. Quanto ao valor de k, é 2:

det(2.A) = 2³.det(A) (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

det(2A.Aᵗ) = 2³.det(A).det(Aᵗ) (III)

Existe, também, uma propriedade dos determinantes que diz:

det(Aᵗ) = det(A) (IV)

Substituindo (IV) em(III), temos:

det(2A.Aᵗ) = 2³.det(A).det(A)

det(2A.Aᵗ) = 2³.[det(A)]² (V)

Substituindo, em (V), det(A) = d, temos:

det(2A.Aᵗ) = 2³.d² (VI)

Por outro lado, vimos na expressão (II) que, se a ordem de uma matriz B é d, então:

det(3B) = 3^d.det(B) (VII)

Substituindo, em (VII), os valores fornecidos de det(B) e de det(3B), temos:

162 = 3^d.(2)

3^d = 81

3^d = 3^4

d = 4. (VIII)

Substituindo (VIII) em (VI), temos:

det(2A.Aᵗ) = 2³.4²

det(2A.Aᵗ) = 128 (IX)

Substituindo o primeiro membro de (IX) pelo valor 4k, fornecido no enunciado, temos:

4k = 128

k = 32. (X)

De (X) e (VIII), temos:

k + d = 36.