Veja, Marcelo, que é simples. Temos o seguinte número, que vamos igualá-lo a um certo "n", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:
n = 48⁵ * 15⁶
Veja: primeiro fatoraremos "48" e "15". Assim, fazemos:
48|2
24|2
12|2
..6|2
..3|3
..1|
Assim, como você viu: 48 = 2⁴ * 3¹
15|3
..5|5
..1|
Assim, após fatorado, 15 = 3¹ * 5¹.
Agora vamos levar os números devidamente fatorados para a nossa expressão "n". Logo:
n = (2⁴ * 3¹)⁵ * (3¹ * 5¹)⁶ ----- note que isto é a mesma coisa que:
n = (2⁴)⁵ * (3¹)⁵ * (3¹)⁶ * (5¹)⁶
n = 2⁴*⁵ * 3¹*⁵ * 3¹*⁶ * 5¹*⁶
n = 2²º * 3⁵ * 3⁶ * 5⁶
n = 2²º * 3⁵⁺⁶ * 5⁶
n = 2²º * 3¹¹ * 5⁶
Agora veja: somaremos "1" unidade a cada expoente e, após isso, fazemos a multiplicação entre eles. Assim, chamando de "d" o número de divisores positivos do número "n", teremos:
d = (20+1)*(11+1)*(6+1)
d = (21)*(12)*(7) ---- ou apenas
d = 21*12*7 --- veja que este produto dá 1.764. Logo:
d = 1.764 divisores positivos <--- Esta é a resposta. Este é o número de divisores positivos do número "n".
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Vamos lá.
Veja, Marcelo, que é simples. Temos o seguinte número, que vamos igualá-lo a um certo "n", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:
n = 48⁵ * 15⁶
Veja: primeiro fatoraremos "48" e "15". Assim, fazemos:
48|2
24|2
12|2
..6|2
..3|3
..1|
Assim, como você viu: 48 = 2⁴ * 3¹
15|3
..5|5
..1|
Assim, após fatorado, 15 = 3¹ * 5¹.
Agora vamos levar os números devidamente fatorados para a nossa expressão "n". Logo:
n = (2⁴ * 3¹)⁵ * (3¹ * 5¹)⁶ ----- note que isto é a mesma coisa que:
n = (2⁴)⁵ * (3¹)⁵ * (3¹)⁶ * (5¹)⁶
n = 2⁴*⁵ * 3¹*⁵ * 3¹*⁶ * 5¹*⁶
n = 2²º * 3⁵ * 3⁶ * 5⁶
n = 2²º * 3⁵⁺⁶ * 5⁶
n = 2²º * 3¹¹ * 5⁶
Agora veja: somaremos "1" unidade a cada expoente e, após isso, fazemos a multiplicação entre eles. Assim, chamando de "d" o número de divisores positivos do número "n", teremos:
d = (20+1)*(11+1)*(6+1)
d = (21)*(12)*(7) ---- ou apenas
d = 21*12*7 --- veja que este produto dá 1.764. Logo:
d = 1.764 divisores positivos <--- Esta é a resposta. Este é o número de divisores positivos do número "n".
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
48^5 * 15^6
Primeiramente temos que decompor o 48 e o 15, afinal eles não são primos.
48 = 2^4 * 3
15 = 3 * 5
Agora temos:
( (2^4 * 3)^5 ) * ( (3 * 5)^6 )
( (2^4)^5 * 3^5 ) * ( 3^6 * 5^6 )
( 2^20 * 3^5 ) * ( 3^6 * 5^6 )
2^20 * 3^5 * 3^6 * 5^6 (Apenas tirando os parentes)
2^20 * 3^11 * 5^6
Para achar o número de divisores, nós temos que somar 1 em cada expoente e multiplicá-los.
(20 + 1) * (11 + 1) * (6 + 1)
21 * 12 * 7
252 * 7
1764
Esse é o número de divisores 1764.