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Non è esatto.

Dipende da come scegli le funzioni arcoseno e arcocoseno: siccome su tutto R il seno e il coseno non sono funzioni iniettive, non hanno un'inversa.

Se ti limiti ad un opportuno intervallo largo π, allora le funzioni diventano iniettive e sono invertibili, ma puoi scegliere quell'intervallo in modi diversi.

In generale stai considerando un angolo a, il cui coseno è x, e ne cerchi il seno y (o il contrario).

Quindi

x = cos(a)

y = sin(a)

rispettano

x^2 + y^2 = sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

ovvero

y^2 = 1 - x^2.

Attenzione, però!

Se prendi b = -a trovi

cos(b) = x

sin(b) = -y

Mentre se prendi b = π-a trovi

cos(b) = -x

sin(b) = y

In altre parole, il segno di x e di y non è unico, ma dipnde dai rami del seno e del coseno sui quali definisci l'arcoseno e l'arcocoseno.

Quello che puoi dire è soltanto

sin( arccos(x) )^2 = 1 - x^2

cos( arcsin(x) )^2 = 1 - x^2

^_^

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@Nick: Deve però esserti chiaro che cos'è una funzione inversa.

Il seno e il coseno sono funzioni definite su R ma non sono iniettive, quindi non hanno una funzione inversa.

Ad esempio hai sin(π) = sin(0) = 0,

ma cos(π) = -1 ≠ cos(0) = 1.

Se scegli arcsin(0)=0 allora

cos(arcsin(0)) = cos(0) = 1,

arcsin(sin(π)) = arcsin(0) = 0 ≠ π.

Se scegli arcsin(0)=π allora

cos(arcsin(0)) = cos(π) = -1,

arcsin(sin(0)) = arcsin(0) = π ≠ 0.

Tutto deriva dall'identità fondamentale della trigonometria ... infatti ...

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

da cui segue ...

sin²(θ) = 1 - cos²(θ)

sin(θ) = √( 1 - cos²(θ) )

oppure ...

cos²(θ) = 1 - sin²(θ)

cos(θ) = √( 1 - sin²(θ) )

Per cui abbiamo ...

sin( arccos(x) ) = √[ 1 - cos²( arccos(x) ) ]

sin( arccos(x) ) = √( 1 - x² )

analogamente ...

cos( arcsen(x) ) = √[ 1 - sin²( arcsin(x) ) ]

cos( arcsin(x) )= √( 1 - x² )

Ciao ciao

sen(arccos(x))= √(1-x²)

sen(arccos(x)) = √(1-cos²arccos(x)) -> √(1-x²) ;

Analogamente,

cos(arcsen(x))= √(1-x²)

cos(arcsen(x))= √(1-sin²arccos(x)) -> √(1-x²) ;

Infatti,

cos(arccos(x)) = x perché coseno e arcocoseno sono funzioni inverse e, analogamente,

sin(arcsin(x)) = x.

Le formule sono entrambe valide se si considerano valori di x fra 0 e pi/2.

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_trigonometri...

prova a vedere qui :)