Esercizi sulla probabilità?
1) Calcola la probabilità che lanciando 4 monete la faccia testa esca 2 volte, sapendo che è uscita almeno una volta.
2) Si lancia 10 volte una moneta. Calcola la probabilità che :
a) la faccia testa esca 4 volte
b) la faccia croce esca 6 volte
c) esca sempre croce
d) almeno una volta esca testa
se mi potete spiegare il procedimento e i vari passaggi....grazie!
Aggiornamento:RISULTATI:
1) 2/5
2) a) 210 / 2^10 ; b) =a) ; c) 1/ 2^10 ; d) (2^10 - 1) / 2^10
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Correzione
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Ti dico subito che è molto dura risolvere problemi che coinvolgono molti tentativi senza usare il calcolo combinatorio ma cercherò di instradarti..
Problema 1:
chiamo A l'evento: ottengo 2 teste..
chiamo B l'evento: è uscita almeno una testa.
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
Allora: P(A∩B) è chiaramente la probabilità di avere 2 teste in quattro lanci (se ne hai 2 ne hai almeno una e questo giustifica l'intersezione)
per avere 2 teste in 4 lanci provo a mostrartela così:
Proviamo con una sequenza del tipo
TTCC (testa testa croce croce)
chiamo Xi l'ieseimo lancio mi da testa
P(TTCC)=P(X1)∩P(X2)∩P(X3*)∩P(X4*) * è l'evento complementare
gli eventi sono indipendenti perciò
P(TTCC)=P(X1)P(X2)P(X3*)P(X4*)
la probabilità di avere testa in un lancio è 0.5; di avere croce è sempre (1-0.5)=0.5 perciò
P(TTCC)=0.5*0.5*(1-0.5)*(1-0.5)=0.5^4
Questa è la probabilità di avere solo questa sequenza TTCC ma in realtà tu vuoi 2 teste, non t'importa come vengano allora valuteremo le sequenze che ci interessano: il coeff. binomiale (n;k) serve proprio a questo: calcola le combinazioni
TTCC CTTC CCTT TCTC TCCT CTCT sono 6 combinazioni..
allora avrò una probabilità 0.5^4*6 (2 teste per 6 possibili configurazioni)
finiamo il problema:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
P(A∩B)=6*0.5^4=0.375
La probabilità di avere almeno una testa può essere vista come la probabilità 1 - la probabilità di non avere nessuna testa (ovvero 4 croci: cioè P(C)P(C)P(C)P(C)=0.5^4)
Perciò P(B)=1-0.5^4=0.9375
Quindi
P(A|B)=0.375/0.9375=0.4
Per il problema 2 devi fare gli stessi ragionamenti ma con 10 lanci è molto più lunga calcolarsi le combinazioni.. Meglio approfittare del calcolo combinatorio :)
Problema 2
a) vuoi 4 teste con 10 lanci
P(4) = 10!/(4!*(10-4)!)*(0.5)^4*(1-0,5)^(10-4) = 210*0.5^4*0.5^6 = 0.205
b)6 croci
P(6)=10!/(6!*4!)0.5^6*0.5^4=0.205
guarda a caso è la stessa di a)! se vuoi 6 croci devi avere 4 teste :)
c)tutte croci (ovvero nessuna testa)
10!(10!*0!)0.5^10=1*0.5^10=0.00097
d) se vuoi almeno una testa puoi ragionare così:
alla probabilità dell'evento certo 1 togli la probabilità che non esca mai testa punto c). in questo modo hai la probabilità che almeno una sia testa. in effetti se vui almeno una testa devi solo non considerare la probabilità che escano tutte croci.
1-0.00097=0.999
ciao