La risposta informale ti è stata data, il seno oscilla indefinitamente fra due valori fissi. Formalmente, per il teorema di collegamento, se sen(x) ammette un limite l per x tendente a +infinito e se {x_n} è una qualunque successione che tende a +infinito, allora lim(sin(x_n))=l. ma se prendiamo per esempio le successioni x_n=2npi+pi/2 e y_n=2npi, hai che entrambe vanno a +infinito ma lim(sin(x_n))=lim(1)=1 e lim(sin(y_n))=lim(0)=0. Essendo i due limiti diversi, non vale il teorema di collegamento e quindi l'ipotesi che sin(x) ammettesse limite a +infinito è falsa. Se non conosci il teorema di collegamento, devi lavorare con gli intorni: osserva innanzitutto che se sen(x) ammette un limite l a +infinito, questo sta per forza in [-1,1], perché è un intervallo chiuso che contiene l'immagine della funzione seno(in realtà coincidono proprio). Adesso per un generico l in [-1,1] fai vedere che esiste un intorno U di l (ad esempio U=(l-1,l+1)) per cui non esiste un intorno V di +infinito tale che sin(V) sia contenuto in U. Due casi: se l>=0, per ogni intorno V di +infinito esiste un naturale n tale che 2npi-pi/2 appartiene a V e sin(2npi-pi/2)=-1 non appartiene a U. Se l<0, per ogni intorno V di +infinito esiste un naturale m tale che 2mpi+pi/2 appartiene a V e sin(2mpi+pi/2)=1 non appartiene a U. Quindi la definizione di limite non è verificata da nessuno dei possibili limiti(=punti limite) del seno.

La dimostrazione è semplice e si rifà ad un teorema che afferma che se esiste il limite di una funzione e vale L allora tutte le successioni estratte saranno regolari e avranno come limite L.

Se dimostriamo che esistono due successioni che ammettono limiti diversi tra loro abbiamo dimostrato che il limite non esiste. Prendiamo due successioni estratte così definite

★

an=sin(n) con n=π/2+2nπ per ogni n∈ℕ

an è una successione costante, an=+1

lim(n→+oo) an=lim(n→+oo) 1= 1

★

b(n)=sin(n) con n=2nπ per ogni n∈ℕ

bn è una successione costante, bn=0

lim(n→+oo) bn=lim(n→+oo) 0= 0

Abbiamo così trovato due successioni estratte che ammettono limiti diversi (0,1) quindi per il teorema nominato in precedenza, la funzione NON ammette limite.

Si ma nella dimostrazione per assurdo ho che il limite di sen(x) (x che tende ad infinito)= L

poi mi dice di prendere due seccessioni 1) 2*pigreco*x 2) 2*pigreco*x + pigreco/2

e poichè i limiti sono differenti il limite del seno non esiste... okkei proprio quest'ultima parte mi rimane difficile da capire... potete spiegarmi tale conclusione?

Perché il seno è una funzione periodica, che dunque oscilla per tutto il suo 'tragitto' tra due valori ben definit (-1 e 1), e quindi all'infinito tu non puoi stabilire a che valore tende precisamente al limite questa funzione... Stesso discorso vale per il coseno

Il seno oscilla tra -1 e +1, quindi anche andando all'infinito non tenderà a aun limite, ma continuerà ad oscillare...

Perché oscilla continuamente tra 1 e -1, senza mai decidersi ad essere l'uno, o l'altro.