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Apenas olhando as coordenadas fica fácil detectar que cada um dos vértices está em um quadrante diferente: F(3º), G(2º), H(1º) i I(4º).

Nota: Em todo caso é sempre mais fácil fazer um desenho da figura para entender bem o formato do quadrilátero.

O próximo passo é dividir o polígono em triângulos, no caso de um quadrilátero em dois: FGI e GHI ou FGH e FHI. Tanto faz!! Vou adotar FGI e GHI.

A fórmula para cálculo da área do triângulo é 1/2 * |D|, onde D é o determinante de uma matriz 3x3 definida pelas coordenadas do triângulo.

Área do primeiro triângulo (FGI):

|-6 -2 1|

|-4 5 1|

| 3 -1 1|

D = (-6.5.1) + (-2.1.3) + (-4.-1.1) - (1.3.5) - (-2.-4.1) - (-6.-1.1)

D = -30 - 6 + 4 - 15 - 8 - 6 = -61

Área(FGI) = 1/2 * |D| = 1/2 * 61 = 30,5

Área do segundo triângulo (GHI):

|-4 5 1|

| 4 9 1|

| 3 -1 1|

D = (-4.9.1) + (5.1.3) + (4.-1.1) - (1.9.3) - (5.4.1) - (-4.-1.1)

D = -36 + 15 - 4 - 27 - 20 - 4 = -76

Área(FGI) = 1/2 * |D| = 1/2 * 76 = 38

Somando as duas áreas teremos a área do quadrilátero: 30,5 + 38 = 68,5

Confirmei a área usando AutoCad!!

Sabendo que a fórmula para calcular a área de um triângulo através de suas coordenadas é:

|Xa Ya 1|

|Xb Yb 1| * 1/2

|Xc Yc 1|

|Xa Ya 1| ____________________.||Xa Ya 1||

|Xb Yb 1| = Determinante da matriz ||Xb Yb 1||

|Xc Yc 1| ____________________.||Xc Yc 1||

Podemos dividir o quadrilátero FGHI em dois triângulos de coordenadas (4, 9), (-4, 5), (-2, -6) e (4, 9), (3, -1), (-2, -6), respectivamente.

Então a área do quadrilátero FGHI é igual a:

|4 9 1|______.|4 9 1|

|-4 5 1| * 1/2 + |3 -1 1| * 1/2 = 70,5 unidades de área

|-2 -6 1|______.|-2 -6 1|