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Vamos lá.

Pede-se o coeficiente de "x" no seguinte desenvolvimento: [x + (1/x)]⁷.

Veja, Cássio, que o desenvolvimento de uma expressão da forma [x + a]ⁿ (binômio de Newton) segue a regra abaixo:

i) Para o PRIMEIRO termo, temos combinação de "n" termos tomados "0" a "0" vezes xⁿ vezes aº. Escrevendo, teremos isto: [n!/(n-0)!0!]*xⁿ*aº. Ou seja, para o primeiro termo, teremos p = 0

ii) Para o SEGUNDO termo, temos combinação de "n" termos tomados "1" a "1" vezes xⁿ⁻¹ vezes a¹ . Escrevendo, teremos isto: [n!/(n-1)!1!]*xⁿ⁻¹*a¹. Ou seja, para o segundo termo, teremos p = 1

iii) Para o TERCEIRO termo, temos combinação de "n" termos tomados "2" a "2" vezes xⁿ⁻² vezes a². Escrevendo, teremos isto: [n!/(n-2)!2!]*xⁿ⁻²*a². Ou seja, para o terceiro termo, teremos p = 2.

E assim sucessivamente até o fim.

Então fica fácil ver que no desenvolvimento de [x + (1/x)]⁷, o coeficiente de "x" vai se dar quando p = 3, pois aí passaríamos a ter:

T(3+1) = C(n,(3+1))*x⁷⁻³*(1/x)³

T(3+1) = C(7, 4)*x⁴*1/x³

T(3+1) = [7!/(7-4)!4!]*x⁴/x³

T(3+1) = [7*6*5*4!/3!4!]*x⁴⁻³

T(3+1) = [7*6*5*4!/3*2*1*4!]*x¹ ----- dividindo-se 4! do numerador com 4! do denominador, ficaremos:

T(3+1) = [7*6*5/3*2*1]*x

T(3+1) = [7*6*5/6]*x ---- dividindo-se "6" do numerador com "6" do denominador, ficaremos com:

T(3+1) = [7*5]*x

T(3+1) = [35]*x --- ou apenas:

T(3+1) = 35x <------ Esta é a resposta. Então o coeficiente de "x" é "35". Opção "b".

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

(x+(1/x))^7 = x^7 +7x^6 *1/x +21x^5*1/x²+35x^4 *1/x³ +35x³ *1/x^4 + 21x² * 1/x^5 +7x *1/x^6 + 1/x^7...analisando o polinomio 4° termo tem :35x^4 * 1/x³ = 35x^4 /x³ = 35x....logo o coeficiente procurado vale 35. ok ?

24 é a resposta