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È semplicissima!

PRODOTTO INCROCIATO NELLE EQUAZIONI FRAZIONARIE:

Se a/b = c/d, ne consegue che: a * d = b * c

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( 1 + cos(x) ) / sin(x) = sin(x) / ( 1 - cos(x) )

Per la proprietà che ho descritto qui sopra, si ha:

( 1 + cos(x) ) * ( 1 - cos(x) ) = sin(x) * sin(x)

Al primo membro si ha il prodotto tra una somma e una differenza (differenza di due quadrati). Al secondo membro si ha semplicemente il prodotto di due termini identici. 

1 - cos²(x) = sin²(x)

Ovvero l'identità fondamentale della trigonometria.

L'identità è quindi verificata ed è valida per tutti i valori di x diversi da kπ - ovvero i multipli pari e dispari di π, che annullano o il primo o il secondo denominatore (oppure entrambi). 

TE L'HA ANNUNCIATO L'ARCANGELO GABRIELE CHE SI TRATTA DI UN'IDENTITA'?

Quello che si vede è un'espressione complessa in x, con un operatore di eguaglianza: POTREBBE essere vera per ogni valore di x (identità), ma anche no (equazione); non si può dire a priori, ma solo dopo averla sviluppata e ridotta.

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Con riserva di aggiungere le periodicità sui risultati finali, per x nel primo giro (0 <= x < 2*π), si ha quanto segue.

L'eguaglianza fra due frazioni

230) (1 + cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1 - cos(x))

è definita solo là dove nessun denominatore si annulli, cioè per

* (x non in {0, π} per una) & (x != 0 per l'altra)

QUINDI

essendoci il valore x = π in cui una frazione è indefinita e l'altra no, è corretta la risposta della seconda Anonima a cui quattro cretini hanno clickato un pollice in giù; io, che sono capace di leggere e di ragionare, ne ho clickato uno in su.

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Le altre due risposte sono un po' meno elementari da comprendere perché sono in errore in modi sottili.

La prima Anonima conclude i suoi calcoli con parole contraddittorie «L'identità è quindi verificata ed è valida per tutti i valori di x diversi da kπ...» perché se non è valida per tutti senza eccezioni NON è affatto verificata come identità, è un'equazione vera QUASI ovunque (cioè ovunque meno in un insieme di misura nulla).

Sergio, dicendo erroneamente che si tratta di un caso banale, trascura addirittura quell'insieme di misura nulla.

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UN APPROCCIO ALTERNATIVO, scritto in modo da aver presente tutto, potrebb'essere il seguente.

* (x non in {0, π} per una) & (x != 0 per l'altra) ≡ (x != 0) & (x != π)

230) (1 + cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1 - cos(x)) ≡

≡ ((1 + cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1 - cos(x))) & (x != 0) & (x != π) ≡

≡ ((1 + cos(x))*(1 - cos(x)) = sin^2(x)) & (x != 0) & (x != π) ≡

≡ (1 - cos^2(x) = sin^2(x)) & (x != 0) & (x != π) ≡

≡ (1 = sin^2(x) + cos^2(x)) & (x != 0) & (x != π) ≡

≡ (VERO) & (x != 0) & (x != π) ≡

≡ (x != 0) & (x != π) ≡

≡ l'espressione originale non è un'identità, ma un'equazione vera quasi ovunque tranne che in un insieme di misura nulla.

NIEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE_E_E_EDDUUUUUUUUUUUU

L'identità non è verificata.

Infatti vediamo dove sono definite le due espressioni.

CE.

(1+cosx)/sinx ha senso se sinx≠0 cioè x≠kπ con k numero relativo

sinx/(1-cosx) ha senso se 1-cosx≠0 cioè per x≠2kπ con k numero relativo 

Per dimostrare che una proprietà non è goduta è sufficiente mostrare UN caso.

Tale caso è detto contro-esempio.

Ecco il contro-esempio.

Per x=π 

il primo membro non ha senso

mentre il secondo vale 0/2 = 0

Conclusione. L'identità NON è verificata.

È dai...  è banale

Imponi denominatori diversi da 0  e trovi mcm

1 - cos^2(x) = sin^2(x)

Come dire sin^2 x + cos^2 x = 1 .. identità fondamentale