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x³ = x + 1

x³ - x - 1 = 0

Agora seja f(x) = x³ - x - 1. f(x) é contínua para todo x real, pois é um polinômio.

Tomemos x = 0 e x = 2

f(0) = -1

f(2) = 8 - 2 - 1

f(2) = 5

Portanto temos que a função é contínua e, no intervalo f(2) = 5 e f(0) = -1. Como ela é contínua também no intervalo [0, 2] o Teorema do Valor Intermediário nos garante que a todo c tal que 0 ≤ c ≤ 2, existirá um f(c) tal que f(0) ≤ f(c) ≤ f(2), ou seja -1 ≤ f(c) ≤ 5. Em particular, f(c) pode assumir o valor de 0. Assim seria a raíz da nossa função f(x). Logo, satisfaz o seguinte:

f(c) = 0

c³ - c - 1 = 0

c³ = c + 1

Logo, concluímos nossa demonstração.

Acho que o que você quis dizer é que existe um número real tal que x³ = x + 1.

Seja f(x) = x³ - x - 1, x∈ R. Então, f é contínua em todo o R. Temos também que f(x) → -∞ se x → -∞ e f(x) → ∞ se x → ∞. Assim, f assume valores negativos e positivos. Como f é contínua, segue-se do teorema do valor intermediário que, para algum x, f(x) = 0. Isto é o mesmo que dizer que existe um real x tal que x³ = x + 1.