Verified answer

__________________________

Una funzione si dice pari se

f(x) = f(-x)

es.

f(x) = x²

verifichiamo che

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)

quindi la funzione è pari.

Se la funzione è pari allora è simmetrica rispetto all'asse y.

__________________________

Una funzione si dice dispari se

f(-x) = -f(x)

es:

f(x) = x³

verifichiamo che

f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)

quindi la funzione è dispari.

Se una funzione è dispari il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine O(0,0) del sistema di riferimento xOy .

NOTE

❶ Se una funzione polinomiale presenta solo esponenti pari allora la funzione è pari.

❷ Se una funzione polinomiale presenta solo esponenti dispari allora la funzione è dispari.

❸ Altri es:

La funzione

1) f(x) = sinx

è dispari infatti

sin(-x) = -sinx

2) f(x) = cosx

è pari infatti

cos(-x) = cosx

❹ Una funzione non necessariamente deve essere pari oppure dispari. Ciò, a livello grafico, vuole solo dire che non presenta simmetrie rispetto all'asse y o all'origine O. Come nel tuo caso:

f(x) = x⁴ - 3x³

f(-x) = (-x)⁴ - 3(-x)³ = x⁴ + 3x³

e tale espressione non coincide né con f(x) né con -f(x) .

❺ Riconoscere che una funzione è pari o dispari semplifica notevolmente lo studio della funzione.

Questo perché si può limitare lo studio della funzione stessa ad un sottoinsieme del dominio. Ovvero per x > 0 in quanto se la funzione è pari basta ribaltare il grafico rispetto all'asse y ; se la funzione è dispari si traccerà la parte di grafico simmetrica rispetto ad O.

Allo stesso modo risulterà superfluo e semplificato il calcolo dei limiti.

Ad esempio se la funzione f(x) è pari e la si studia nell'intervallo 0|--|+∞ e ci accorgiamo che per x → +∞ anche f(x)→ +∞ allora anche per x→ -∞ avremo che f(x)→ +∞ . Se invece la funzione è dispari l'altro limite sarà di segno opposto.

Dette così le cose sembrano un po' astruse, con la pratica capirai di sicuro meglio! ^__^ Ciao!

una funzione è pari se f(x)=f(-x)

la funzione

y= x^4 - 3x^3

è pari se

x^4-3x^3 = (-x)^4-3(-x)^3

x^4-3x^3 = x^4+3x^3

cosa non vera quindi non è pari

una funzione è dispari se f(-x)= -f(x) cioè f(x)= -f(-x)

la funzione

y= x^4 - 3x^3

è dispari se

x^4 - 3x^3 = -(-x)^4 +3(-x)^3

x^4 - 3x^3 = -x^4 -3x^3

cosa non vera quindi non è dispari

pari se f(-x) = f(x) (simmetrica rispetto all'asse y)

dispari se f(x) = -f(-x) (simmetrica rispetto all'origine)