La funzione f(x) = (x - 1)^3 / (x - x^2) è definita per ogni x reale diverso da 0 e da 1.

Osserviamo che è (x - 1)^3 / (x - x^2) = (x - 1)^3 / (x (1 - x) ) =

- (x - 1)^3 / (x (x - 1) ) = - (x - 1)^2 / x.

In questo processo di semplificazione abbiamo implicitamente ampliato f(x),

assegnando il valore f(1) = 0; ora f(x) = - (x - 1)^2 / x è definita per ogni x diverso da 0.

La derivata cercata sarà allora

f ' (x) = ( -2 (x - 1) x + (x - 1)^2 ) / x^2 = (x - 1) (-2 x + x - 1) / x^2 =

(1 - x) (1 + x) / x^2.

Hai tre funzioni principalmente(considerandone che il numeratore N(x) è una funzione composta):

f(x) = x-1

N(x) = f(x)^3 = (x - 1)^3

D(x) = x - x^2

Vediamo di derivare il numeratore:

N '(x) = 3( f(x) )^(3-1) * f '(x)

quindi deriviamo f(x):

f '(x) = d(x-1)/dx = 1

Quindi la derivata del numeratore è:

N '(x) = 3(x - 1)^2 * 1 = 3(x - 1)^2

La derivata del denominatore è:

D '(x) = d(x)/dx + d(-x^2)/dx = 1 - 2x

La derivata di un rapporto y = N(x) / D(x) si trova nel modo seguente:

dy/dx = d(N(x) / D(x)) / dx = N '(x) * D(x) - D '(x) * N(x) / N(x)^2 (nota gli apici)

quindi la tua derivata è:

y' = [ 3(x - 1)^2 * (x - x^2) - (1 - 2x) * (x - 1)^3 ] / (x - x^2)^2

raccogli (x - 1)^2

y' = [ (x - 1)^2[ 3(x - x^2) - (x - 1)(1 - 2x) ] / (x - x^2)^2

y' = [ (x - 1)^2[ 3x - 3x^2 - x + 2x^2 + 1 - 2x ] / (x - x^2)^2

y' = [ (x - 1)^2 * (1 - x^2) / (x - x^2)^2

y' = [ (x - 1)^2 * (1 - x^2) / [x^2(1 - x)^2]

(x - 1)^2 = (1 - x)^2, dunque, si semplificano, rimane:

y' = (1 - x^2) / x^2

f(x) = (x - 1)³ / (x - x²)

definita per x ≠ 0 Λ x ≠ 1

Per le imposizioni fatte, semplifichi:

f(x) = (x - 1)³ / (x(1 - x)) = - (x - 1)³ / (x(x - 1)) = - (x - 1)² / x

f '(x) =

- 2x(x - 1) + (x - 1)²

---------------------------- =

x²

- 2x² + 2x + x² - 2x + 1

------------------------------- = (1 - x²)/x² = (1/x²) - 1

x²