Problema con carrucola avente massa, è collegata ad una molla?
Determinare il periodo delle piccole oscillazioni della massa m=100g nel suo moto lungo la verticale, quando è collegata, mediante un filo, inestensibile e senza peso, ad una molla di costante elastica K=100N/m, come mostrato in Figura. Il filo passa su di una carrucola costituita da un cilindro omogeneo di massa M=2Kg e raggio R=20cm, senza slittare su di esso.
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Assumi la verticale diretta verso il basso come asse Y e poni l'origine nella posizione di riposo della molla. Immagine di spostare di "y" verso il basso la massa m e scrivi la 2a di Newton. Si ha:
m g - ky - T = m a
Considera ora la carrucola e scrivi la 2a cardinale. Si ha:
T•R = (1/2) M R² α
Ma fra l'abbassamento "y" e la rotazione θ, per la inestensibilità del filo e la sua perfetta aderenza sussiste la relazione
y = R θ
da cui, derivando due volte rispetto al tempo, si ottiene
a = R α
Ricapitolando si hanno così le due equazioni:
m g - k y - T = m a
T = (1/2) M a
da cui, sommando membro a membro,
m g - k y = (m + M/2) a
Riordinando e sostituendo ad "a" la sua definizione,
d²y/dt² + k/(m+M/2) y = m g/(m+M/2)
Questa è l'equazione del moto armonico con periodo
T = 2π/radice{k/(m+M/2)} = 0,66 s