Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se é racional e diferente de , então nem tan(x), nem eˣ podem ser racionais . Como tan(π/4) = 1, segue-se que π/4 é irracional, e portanto que π é irracional.
Lindemann provou em 1882 que π é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que π não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.
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Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se é racional e diferente de , então nem tan(x), nem eˣ podem ser racionais . Como tan(π/4) = 1, segue-se que π/4 é irracional, e portanto que π é irracional.
Lindemann provou em 1882 que π é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que π não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.
Pi é irracional e transcendente, isto é, não pode ser escrito como a razão de dois números inteiros e nem é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais.