Il triangolo di Tartaglia è quel triangolo che si costruisce sommando sempre i due numeri sopra, e che forse molti ricordano dai tempi della scuola perché serve per calcolare le potenze di un binomio. Esso possiede però molte altre caratteristiche, ed alcune di esse sono veramente notevoli.
Ora qui sotto elencherò le caratteristiche più belle di questo gruppo di numeri:
1)
Se si sommano tutti i numeri della riga n si ottiene esattamente 2^n. Esempio: se sommiamo tutti i numeri della riga 7 abbiamo: 1+7+21+35+35+21+7+1 = 128 = 2^7.
2)
Sulla linea diagonale subito dietro a quella degli uno (chiaramente da una parte o dall'altra fa lo stesso) ci sono tutti i numeri naturali, e su quella dietro ancora ci sono numeri triangolari (1 3 6 10 15 21 28 ...). Quindi nella riga n si leggerà il numero triangolare che equivale alla somma di tutti i numeri naturali fino a n-1. Ad esempio sulla quinta riga leggiamo il numero triangolare 10, che è 1+2+3+4; mentre sulla ottava leggiamo il numero triangolare 28, che è 1+2+3+4+5+6+7.
3)
Sul triangolo di Tartaglia si possono trovare anche i numeri di Fibonacci: basta sommare i numeri delle righe diagonali che si spostano ogni volta non di un numero, ma di due. Queste righe sono evidenziate nella figura sopra da un colore diverso: blu, rosa, rosso, verde, blu, ... Sommando appunto i numeri di ogni riga otteniamo dalla prima 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Esattamente i numeri di Finbonacci!
4)
Incredibile! Il triangolo di Tartaglia è utile anche nel calcolo combinatorio: si possono determinare immediatamente le combinazioni di k elementi in un gruppo di n elementi. Basta andare sull'uno della riga k e scendere in diagonale sulla riga n. Ad esempio se si vuol sapere quanti gruppi possibili di 5 persone si possono fare in una comitiva di 8 persone basta puntare il dito sull'uno della quinta riga e scendere in diagonale fino all'ottava riga. Il numero delle combinazioni possibili è proprio 56!
5)
Giusto per ricordarsi delle lezioni di matematica a scuola, cito anche l'applicazione del triangolo nell'algebra: serve per trovare le potenze di un binomio.
Il triangolo di tartaglia è una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.
Il triangolo di Tartaglia serve a determinare i coefficienti del binomio di grado n, cioè un binomio del tipo (x+y)^n, dove n è un numero naturale. Ogni coefficiente è del tipo n su k,
questa formula è: n su k = n!/k!(n-k)!. Questi coefficienti si chiamano coefficienti binomiali e n! si legge n fattoriale ed è dato dal seguente prodotto: 1*2*3*...*(n-1)*n, cioè il prodotto dei numeri da 1 a n. Per esempio, 5!=5*4*3*2*1=120
Nel triangolo di Tartaglia questi coefficienti sono dati dalla somma di due elementi adiacenti della riga precedente, ad esempio il due che c'è nella terza riga è dato dalla somma degli uno che ci sono nella seconda riga. i due 3 che ci sono nella quarta riga sono dati dalla somma del primo 1 e del 2, il secondo 3 è dato dalla somma del 2 e del secondo 1 che termina la riga. Capito? si procede in questo modo.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Spero di essere stata chiara. Ciao
Per capire meglio cosa sono i coefficienti binomiali, visto che la scrittura non mi permette di fartelo capire meglio, ti do questo link.
e' fatto un po male...ma e' qst...in pratica..parti guardando dal alto...nella secondas riga...c'e 1 e 1...nela riga sotto...tra i due 1...c'e un 2...cioe la somma del uno piu uno...
e vai avanti cosi...come puoi vedere nella riga successiva...dove c'e un uno e un due...e il risultato sotto e' un tre....
dieci punti grz..!!
ps...non so se si vede bene il disegno...e' tipo a forma di triangolo con l'uno come punta...
Ogni nuovo livello inizia e termina con 1, mentre i numeri intermedi sono la somma di due interi del livello soprastante, come indicato dai segmenti rossi.
Osserviamo che al livello n corrispondono n+1 numeri del triangolo.
E' un metodo pratico per ricavare i coefficienti polinomiali dello sviluppo di una potenza di una somma di monomi (della forma (a+b)^n ).
Suppongo che non hai ancora studiato il calcolo combinatorio, per cui posso solo dirti qual è la formula pratica:
n = 0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
....
in pratica, in ogni riga il primo e l'ultimo sono sempre "1" e il generico elemento è dato dalla somma dei due elementi sovrastanti della riga superiore.
nel caso n=4:
(a+b)^4 --> si sviluppa così:
1*a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 +1*b^4
Ovviamente le potenze dei doppi prodotti sono a decrescere per il primo monomio (a) e a crescere per il secondo.
Answers & Comments
Verified answer
Il triangolo di Tartaglia è quel triangolo che si costruisce sommando sempre i due numeri sopra, e che forse molti ricordano dai tempi della scuola perché serve per calcolare le potenze di un binomio. Esso possiede però molte altre caratteristiche, ed alcune di esse sono veramente notevoli.
Ora qui sotto elencherò le caratteristiche più belle di questo gruppo di numeri:
1)
Se si sommano tutti i numeri della riga n si ottiene esattamente 2^n. Esempio: se sommiamo tutti i numeri della riga 7 abbiamo: 1+7+21+35+35+21+7+1 = 128 = 2^7.
2)
Sulla linea diagonale subito dietro a quella degli uno (chiaramente da una parte o dall'altra fa lo stesso) ci sono tutti i numeri naturali, e su quella dietro ancora ci sono numeri triangolari (1 3 6 10 15 21 28 ...). Quindi nella riga n si leggerà il numero triangolare che equivale alla somma di tutti i numeri naturali fino a n-1. Ad esempio sulla quinta riga leggiamo il numero triangolare 10, che è 1+2+3+4; mentre sulla ottava leggiamo il numero triangolare 28, che è 1+2+3+4+5+6+7.
3)
Sul triangolo di Tartaglia si possono trovare anche i numeri di Fibonacci: basta sommare i numeri delle righe diagonali che si spostano ogni volta non di un numero, ma di due. Queste righe sono evidenziate nella figura sopra da un colore diverso: blu, rosa, rosso, verde, blu, ... Sommando appunto i numeri di ogni riga otteniamo dalla prima 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Esattamente i numeri di Finbonacci!
4)
Incredibile! Il triangolo di Tartaglia è utile anche nel calcolo combinatorio: si possono determinare immediatamente le combinazioni di k elementi in un gruppo di n elementi. Basta andare sull'uno della riga k e scendere in diagonale sulla riga n. Ad esempio se si vuol sapere quanti gruppi possibili di 5 persone si possono fare in una comitiva di 8 persone basta puntare il dito sull'uno della quinta riga e scendere in diagonale fino all'ottava riga. Il numero delle combinazioni possibili è proprio 56!
5)
Giusto per ricordarsi delle lezioni di matematica a scuola, cito anche l'applicazione del triangolo nell'algebra: serve per trovare le potenze di un binomio.
(A+B)^3 = 1 * A^3 + 3 * (A^2 * B) + 3 * (A * B^2) + 1 * B^3
(A+B)^4 = 1 * A^4 + 4 * (A^3 * B) + 6 * (A^2 * B^2) + 4 * (A * B^3) + 1 * B^4
Il triangolo di tartaglia è una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.
Per la spiegazione vedi qui:
http://www.itsosgadda.it/fornovo/Didattica/matemat...
Il triangolo di Tartaglia serve a determinare i coefficienti del binomio di grado n, cioè un binomio del tipo (x+y)^n, dove n è un numero naturale. Ogni coefficiente è del tipo n su k,
questa formula è: n su k = n!/k!(n-k)!. Questi coefficienti si chiamano coefficienti binomiali e n! si legge n fattoriale ed è dato dal seguente prodotto: 1*2*3*...*(n-1)*n, cioè il prodotto dei numeri da 1 a n. Per esempio, 5!=5*4*3*2*1=120
Nel triangolo di Tartaglia questi coefficienti sono dati dalla somma di due elementi adiacenti della riga precedente, ad esempio il due che c'è nella terza riga è dato dalla somma degli uno che ci sono nella seconda riga. i due 3 che ci sono nella quarta riga sono dati dalla somma del primo 1 e del 2, il secondo 3 è dato dalla somma del 2 e del secondo 1 che termina la riga. Capito? si procede in questo modo.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Spero di essere stata chiara. Ciao
Per capire meglio cosa sono i coefficienti binomiali, visto che la scrittura non mi permette di fartelo capire meglio, ti do questo link.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
e' fatto un po male...ma e' qst...in pratica..parti guardando dal alto...nella secondas riga...c'e 1 e 1...nela riga sotto...tra i due 1...c'e un 2...cioe la somma del uno piu uno...
e vai avanti cosi...come puoi vedere nella riga successiva...dove c'e un uno e un due...e il risultato sotto e' un tre....
dieci punti grz..!!
ps...non so se si vede bene il disegno...e' tipo a forma di triangolo con l'uno come punta...
es
1
121
1331
14641
per ottenere la 3 rica devi fare:
1+2 e poi 2+1( devi dempre mettere l'uno per primo numero)
la 4 colonna devi fare 1+3,3+3,3+1
e quindi devi sommare sempre il num con tutti quelli k hanno di fianco
Il triangolo di Tartaglia é costituito da una semplice collocazione di numeri naturali a livelli: disponendo di esso fino al livello n é possibile calcolare al massimo l'ennesima potenza di un binomio.
Si costruisce il triangolo partendo dal vertice.
Ogni nuovo livello inizia e termina con 1, mentre i numeri intermedi sono la somma di due interi del livello soprastante, come indicato dai segmenti rossi.
Osserviamo che al livello n corrispondono n+1 numeri del triangolo.
Spero di esserti stata d' aiuto!
E' un metodo pratico per ricavare i coefficienti polinomiali dello sviluppo di una potenza di una somma di monomi (della forma (a+b)^n ).
Suppongo che non hai ancora studiato il calcolo combinatorio, per cui posso solo dirti qual è la formula pratica:
n = 0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
....
in pratica, in ogni riga il primo e l'ultimo sono sempre "1" e il generico elemento è dato dalla somma dei due elementi sovrastanti della riga superiore.
nel caso n=4:
(a+b)^4 --> si sviluppa così:
1*a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 +1*b^4
Ovviamente le potenze dei doppi prodotti sono a decrescere per il primo monomio (a) e a crescere per il secondo.
tieni è spiegato qui
la logica è semplice..hai presente i quadrati di monomi? e i trinomi???
bn
(a+b)alla seconda 121
alla terza 1331 xk sommi 1+0= 1 poi 2+1= 3 e poi 2+1= 3 eccecc e arrivi fino al quadrinomi ecc ecc
devi impararlo x lìesame?????
annkio nn l'ho capito!