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Consideriamo un generico numero w nel campo complesso, cioè w € C .

Nel campo complesso, la funzione coseno iperbolico presenta la stessa forma che ha nel campo reale, ovvero:

cosh(w) = [ e^w + e^(- w) ] / 2

Se con " i " indichiamo l'unità immaginaria, in corrispondenza del numero complesso

" i * w " risulta ovviamente:

cosh(i * w) = [ e^(i * w) + e^(- i * w) ] / 2

Ci accorgiamo che il secondo membro di quest'ultima relazione coincide con l'espressione che la funzione coseno ha nel campo complesso (e che deriva dalla formula di Eulero). Infatti:

cos(w) = [ e^(i * w) + e^(- i * w) ] / 2

Pertanto, possiamo concludere che:

cosh(i * w) = cos(w)

A questo punto, sia z € C un generico numero complesso. Se nell'ultima uguaglianza notevole che abbiamo ottenuto proviamo a porre w = - i * z , si otterrà:

cosh[ i * (- i * z) ] = cos(- i * z)

ovvero ancora:

cosh[ - (i * i) * z ] = cos(- i * z) . . . . . . . . . . ( A )

Del resto, si può osservare che:

- (i * i) = - (- 1) = 1

Inoltre, come sappiamo bene, il coseno è una funzione pari:

cos(- i * z) = cos(i * z)

In definitiva, dalla ( A ) si ottiene quest'altra importantissima uguaglianza notevole:

cosh(z) = cos(i * z)

E allora, i valori di z per cui si annulla cosh(z) sono gli stessi valori per cui si annulla cos(i * z) . Naturalmente, il coseno si annulla in (π / 2) e in tutti i multipli interi di

(π / 2) , ossia per:

i * z = (π / 2) + k * π . . . . ; . . . . k € Z

Moltiplicando sia il primo che il secondo membro per la quantità " - i " , si ha:

- i * (i * z) = - i * [ (π / 2) + k * π ] ;

- (i * i) * z = - i * [ (π / 2) + k * π ] ;

- (( - 1) * z) = - i * [ (π / 2) + k * π ]

ovvero:

z = - (π / 2) * i - k * π * i . . . . ; . . . . k € Z

Potremmo fermarci qui, ma in realtà possiamo fare di meglio. Posto, infatti, n = - k si ha che , se k € Z , anche n € Z , per cui è lecito scrivere:

z = - (π / 2) * i + n * π * i . . . . ; . . . . n € Z

Mettendo allora in evidenza " (π / 2) * i " , risulta:

z = (π / 2) * i * (- 1 + 2 n) . . . . ; . . . . n € Z

ossia:

z = (2 n - 1) * (π / 2) * i . . . . ; . . . . n € Z

Sono dunque questi gli infiniti valori di z € C per cui si annulla il coseno iperbolico, ovvero i i multipli dispari di " (π / 2) * i "

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P . S .

Ho dato per scontato che tu conosca già la formula di Eulero. Ti riassumo come si ottengono seno e coseno a partire da essa:

La formula di Eulero è una formula notevole che si deduce dallo sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale del numero complesso " i * w " :

e^(i * w) = cos(w) + i * sen(w)

Se al posto di " w " sostituisci " - w " , ottieni:

e^(- i* w) = cos(- w) + i * sen(- w)

Ricordando che il coseno è una funzione pari e che il seno è una funzione dispari, avrài ancora:

e^(- i* w) = cos(w) - i * sen(w)

Riassumendo:

{ e^(i * w) = cos(w) + i * sen(w)

{

{ e^(- i* w) = cos(w) - i * sen(w)

Sommando le due equazioni del sistema, si ricava facilmente:

cos(w) = [ e^(i * w) + e^(- i * w) ] / 2

Sottraendo le due equazioni del sistema, si ricava facilmente:

sin(w) = [ e^(i * w) - e^(- i * w) ] / (2 * i)

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Con analoghi ragionamenti, si dimostra agevolmente che anche tra le funzione seno e seno iperbolico esiste un legame. Infatti, risulta:

sinh(w) = i * sin(w)

sinh(i * w) = i * sin(w)

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