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Hola Genaro, vamos a resolver la integral, paso a paso

∫ sec³ [x] dx = ∫ sex [x] * sec² [x] dx

➊ Resolvemos por Integración por Partes, cuya Formula es

∫u dv = u v - ∫v du

Donde:

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u = sec [x]…………….dv = sec² [x]

du = sec[x] tan[x] …….v = tan [x]

➋ Resolvemos:

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx

➌ Utilizamos la siguiente Identidad

tan² [x] = sec² [x] – 1

➍ Sustituimos en Integral

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] [sec² [x] – 1] dx

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ [sec³ [x] + sec [x] ] dx

➎ Ahora tenemos 2 Integrales más

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec³ [x] dx + ∫ sec [x] dx

➏ Como puedes ver la 1ra integral que tenemos, es igual a la integral original, por lo cual la mandamos de lado izquierdo de la igualdad, pero con signo contrario, la 2da integral la resolvemos

∫ sec³ [x] dx + ∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x]

➐ Sumamos integrales y el [2], que multiplica a las integrales lo pasamos del otro lado de la igualad, pero dividiendo

2 ∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x]

∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C

Este es el Resultado

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∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C

Saludos

Hola.

Te propongo una forma de hacerlo, tienes

∫sec^3(x) dx

La separas como:

∫sec^3(x) dx=∫sec^2(x)*sec(x)dx

Entonces aplicas integración por partes, te queda que:

U=sec(x) dV=sec^2(x)dx

dU=sec(x)tan(x)dx V=tan(x)

Sustituyes:

∫sec^3(x) dx = sec(x)tan(x)-∫[secxtan^2x]dx

Transformas la tangente en [tan^2(x)=sec^2(x)-1], entonces:

∫sec^3(x) dx = sec(x)tan(x)- ∫ [sec(x)tan^2(x)] dx =

sec(x)tan(x) - ∫ [sec(x)*(sec^2(x)-1)] dx

Reordenas:

∫sec^3(x) dx =sec(x)tan(x)- ∫sec^3(x)dx+ ∫sec(x)dx

Como en los dos lados de la ecuación tienes la integral del seno cúbico, los pasas sumando para el lado izquierdo, resultando:

2∫sec^3(x) dx =sec(x)tan(x)+ ∫sec(x)dx

Integrando:

∫sec^3(x) dx=(1/2)*sec(x)tan(x)+(1/2)ln |sec(x)+ tan(x) | + C

Este es el resultado que buscas. Saludos

Recomiendo utilizar Alt+253 para elevar al ()² y por favor, que no entiendo como queda sec³+sec x, no deberá ser - sec x?:

Gracias por la información

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No entiendo bien la ecuacion pero te puede servir este dato: sec x = 1/cos x. Si podes explicar mejor la ecuacion te podria ayudar un poquito mas...

Espero que te sirva!

Suerte!