Ok Rayane!
∫dx/x²√(16 - x²)--------->1
Faça;
x = 4sen θ
dx = 4cos θ dθ
x² = 16sen² θ
Então 1 se torna:
∫4cos θ dθ/16sen² θ√(16 - 16sen² θ) =
(1/4)∫cos θ dθ/sen² θ√16(1 - sen² θ) =
(1/16)∫cos θ dθ/sen² θ√(1 - sen² θ) =
Como cos² θ = 1 - sen² θ, temos;
(1/16)∫cos θ dθ/sen² θ√cos² θ =
(1/16)∫cos θ dθ/sen² θ cos θ =
(1/16)∫dθ/sen² θ =
Como 1/sen² θ = cosec² θ, temos;
(1/16)∫dθ/sen² θ = (1/16)∫cosec² θdθ
Sabemos que ∫cosec² θdθ = -cotg θ + C, então;
(1/16)∫cosec² θdθ = -(1/16)cotg θ + C
Agora nos resta colocar a solução em termos da variável original, que no caso é a variável "x", com auxilio da figura;
.............|.\
.............|...\
.............|.....\
.............|.......\
..........x.|.........\....4
.............|...........\
.............|.............\
.............|...............\
.............|................\
.............|__________\θ
.................√(16 - x²)
Como cotg θ = √(16 - x²)/x
Portanto -(1/16)cotg θ + C = -(1/16)√(16 - x²)/x + C
Concluímos então que ∫dx/x²√(16 - x²) = -(1/16)√(16 - x²)/x + C
aí está!!!
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Ok Rayane!
∫dx/x²√(16 - x²)--------->1
Faça;
x = 4sen θ
dx = 4cos θ dθ
x² = 16sen² θ
Então 1 se torna:
∫4cos θ dθ/16sen² θ√(16 - 16sen² θ) =
(1/4)∫cos θ dθ/sen² θ√16(1 - sen² θ) =
(1/16)∫cos θ dθ/sen² θ√(1 - sen² θ) =
Como cos² θ = 1 - sen² θ, temos;
(1/16)∫cos θ dθ/sen² θ√cos² θ =
(1/16)∫cos θ dθ/sen² θ cos θ =
(1/16)∫dθ/sen² θ =
Como 1/sen² θ = cosec² θ, temos;
(1/16)∫dθ/sen² θ = (1/16)∫cosec² θdθ
Sabemos que ∫cosec² θdθ = -cotg θ + C, então;
(1/16)∫cosec² θdθ = -(1/16)cotg θ + C
Agora nos resta colocar a solução em termos da variável original, que no caso é a variável "x", com auxilio da figura;
x = 4sen θ
.............|.\
.............|...\
.............|.....\
.............|.......\
..........x.|.........\....4
.............|...........\
.............|.............\
.............|...............\
.............|................\
.............|__________\θ
.................√(16 - x²)
Como cotg θ = √(16 - x²)/x
Portanto -(1/16)cotg θ + C = -(1/16)√(16 - x²)/x + C
Concluímos então que ∫dx/x²√(16 - x²) = -(1/16)√(16 - x²)/x + C
aí está!!!