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Cada face de um cubo tem 4 vértices. Duas faces distintas que se intersectem têm em comum exatamente 2 vértices. E faces opostas (paralelas) não têm vértices em comum. Assim, se escolhermos 3 vértices sobre uma mesma face, não haverá nenhuma outra face que contenha estes mesmos 3 vértices.

Com base nisto, para determinarmos o total de ternas de vértices que estão sobre uma mesma face, fixemos uma delas. Sobre a mesma, há C(4,3) = 4 formas de escolhermos 3 vértices distintos. E como são 6 faces, há no total 6 x 4 = 24 ternas de vértices que estào sobre uma mesma face. Pelo que vimos no parágrafo anterior, nestas 24 ternas não há duas iguais.

Como um cubo tem 8 vértices, há C(8,3) = (8 x 7 x 6)/3! = 56 formas de escolhermos 3 de seus vértices. Logo, a probabilidade pedida é de 24/56 = 3/7.

3*C3,2/C11,2 = 3*3/55 = 9/55

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