A(-3, 1, -2)
B(-1, 2, 1)
r: x / 2 = z / -3; y = 4
........................................................................................
Se o plano passa por A e B, o vetor definido por estes pontos estará contido no plano. Definindo este vetor:
AB = B - A ⇒ (-1, 2, 1) - (-3, 1, -2) = (2, 1, 3)
.......................................................................................
Se o plano é paralelo a reta 'r', uma nova reta de mesma direção de 'r' e que passa por A ou B, também estará contida no plano.
Vetor diretor de r ⇒ nr = (2, -3, 0). Criando as equações paramétricas desta reta com o ponto A:
.... { x = -3 + 2t
s : { y = 1 - 3t
.... { z = -2 + 0t
Definindo um novo ponto desta reta fazendo o parâmetro t = 1
x = -3 + 2 = -1
y = 1 - 3 = -2
z = -2
Então: C(-1, -2, -2)
Criando um novo vetor AC agora (como A, B e C são pontos do plano, os vetores definidos por eles também estarão contidos no plano)
AC = C - A ⇒ (-1, -2, -2) - (-3, 1, -2) = (2, -3, 0)
......................................................................................
Como AB e AC são vetores contidos no plano, criar um vetor simultaneamente ortogonal a eles, que será o vetor normal do plano.
AB x AC
[i ... j ... k]
[2 .. 1 .. 3]
[2 . -3 .. 0] ⇒ (0 + 9)i - (0 - 6)j + (-6 - 2)k ⇒ 9i + 6j - 8k
Então, n = (9, 6, -8)
Da equação geral do plano, têm-se que:
π : ax + by + cz + d = 0, onde (a, b, c) é o vetor normal do plano. Substituindo
π : 9x + 6y - 8z + d = 0 ⇒ Achar o valor de 'd', colocar algum dos pontos na equação. Utilizar o ponto A
9 . (-3) + 6 . 1 - 8 . (-2) + d = 0
-27 + 6 + 16 + d = 0
d - 5= 0
d = 5 ⇒ Substituindo
π : 9x + 6y - 8z + 5 = 0 ⇒ Resposta
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A(-3, 1, -2)
B(-1, 2, 1)
r: x / 2 = z / -3; y = 4
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Se o plano passa por A e B, o vetor definido por estes pontos estará contido no plano. Definindo este vetor:
AB = B - A ⇒ (-1, 2, 1) - (-3, 1, -2) = (2, 1, 3)
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Se o plano é paralelo a reta 'r', uma nova reta de mesma direção de 'r' e que passa por A ou B, também estará contida no plano.
Vetor diretor de r ⇒ nr = (2, -3, 0). Criando as equações paramétricas desta reta com o ponto A:
.... { x = -3 + 2t
s : { y = 1 - 3t
.... { z = -2 + 0t
Definindo um novo ponto desta reta fazendo o parâmetro t = 1
x = -3 + 2 = -1
y = 1 - 3 = -2
z = -2
Então: C(-1, -2, -2)
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Criando um novo vetor AC agora (como A, B e C são pontos do plano, os vetores definidos por eles também estarão contidos no plano)
AC = C - A ⇒ (-1, -2, -2) - (-3, 1, -2) = (2, -3, 0)
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Como AB e AC são vetores contidos no plano, criar um vetor simultaneamente ortogonal a eles, que será o vetor normal do plano.
AB x AC
[i ... j ... k]
[2 .. 1 .. 3]
[2 . -3 .. 0] ⇒ (0 + 9)i - (0 - 6)j + (-6 - 2)k ⇒ 9i + 6j - 8k
Então, n = (9, 6, -8)
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Da equação geral do plano, têm-se que:
π : ax + by + cz + d = 0, onde (a, b, c) é o vetor normal do plano. Substituindo
π : 9x + 6y - 8z + d = 0 ⇒ Achar o valor de 'd', colocar algum dos pontos na equação. Utilizar o ponto A
9 . (-3) + 6 . 1 - 8 . (-2) + d = 0
-27 + 6 + 16 + d = 0
d - 5= 0
d = 5 ⇒ Substituindo
π : 9x + 6y - 8z + 5 = 0 ⇒ Resposta