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lim (∛t - 1) / (√t - 1) =

t→1

Observe que o cálculo numérico disso resulta numa indeterminação do tipo 0/0. Por isso, o cálculo do limite dessa função envolve uma fatoração seguida de uma(s) simplificação(ões). Mas para fatorar, é preciso racionalizar (tirar os radicais).

Para fatorar radicais, lembre-se de como fatora-se os binômios, por exemplo:

a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²)

e

a² - b² = (a - b).(a + b)

Logo:

a - b = (∛a - ∛b).(∛a² + ∛(ab) + ∛b²)

e

a - b = (√a - √b).(√a + √b)

Por isso que (∛a² + ∛(ab) + ∛b²) é o fator racionalizante da diferença de duas raizes cúbicas e (√a + √b) é fator racionalizante da diferença de duas raizes quadradas.

Logo, multiplica-se os fatores racionalizantes no numerador e denominador, assim:

Cálculo do limite:

lim (∛t - 1) / (√t - 1) =

t→1

lim (∛t - 1).(∛t² + ∛t + 1).(√t + 1) / (√t - 1).(∛t² + ∛t + 1).(√t + 1) =

t→1

lim (t - 1).(√t + 1) / (t - 1).(∛t² + ∛t + 1) =

t→1

lim (√t + 1) / (∛t² + ∛t + 1) =

t→1

(√1 + 1) / (∛1² + ∛1 + 1) =

2/3

Abraços! xD