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Teorema 2: Seja m o valor áureo de R. Então m é o lado do decágono regular inscrito

num círculo de raio R, i.e.,

L10 = R.(( √5 - 1)/ 2

o numero de lados n de um poligono regular de angulo interno ai é :

n=360/ai

assim para o caso

n= 360/36=10

Trata-se do decagono

Conssidere o triangulo formado pelo L10=L e dois raios r onde pela conhecida relação da lei dos cossenos temos

a²=b²+c²-2bc cos a

de onde sai que

cosa=(b²+c²-a²)/(2bc)

mas

a=L

b=c=r =1

a=36

logo

cos36=(1+1-L²)/2= (2-L²)/2

L²=(( √5 - 1)/ 2)²= (5-2√5+1)/4=(6-2√5)/4

cos36= (2-(6-2√5)/4)/2= (8-6+2√5)/8= (2+2√5)/8=(1+√5)/4

cos36=(1+√5)/4

mas sen²a+cos²a=1

sena=√(1-cos²a)

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sen36√( 1-cos²36)

sen36=√( 1 -((1+√5)/4)²)=(√(10-2√5)/4

√5=2,2360

2√5=4,472135

sen36=√(10-4,472135)/4=√5,527864/4= 0,58778530

Resp

Encontramos aproximadamente sen36=0,58778530

ou

sen36=√(10-2√5)/4

Prova

consultando a tabela

temos

sen36=0,587785252, bem proximo do encontrado

Melhor consultar a tabela, porque a aproximação é melhor. Mas é possível calcular a menor.

seno de 36 graus, ou seno de 36 radianos?

Considere Pi = 3.

Seno de 2 Pi = sen0 = 0

Como 36 é divisível por 6 (2Pi) , sen36 = sen2Pi = 0