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Scrivendoli in maniera esplicita (con il fattoriale) e confrontandoli.

Oppure considerandoli come i coefficienti binomiali di (x+y)^n:

(x+y)^(n+1)= ... + (n+1 k+1) x^(k+1)y^(n-k) + ...

(x+y)^n= ... + (n k+1) x^(k+1)y^(n-k-1) + (n k) x^(k)y^(n-k) + ...

Esprimendo il primo come (x+y) volte il secondo e confrontando i coefficienti trovi la relazione che cercavi

(Certo, stai utilizzando implicitamente le stesse formule)

^_^

Io lo farei così.

Per definizione si ha che (n+1 k+1) = (n+1)!/(k+1)![n+1-(k+1)] = (n+1)!/(k+1)!(n-k)!. Non ci resta che dimostrare che la somma al secondo membro sia proprio uguale a questa formula.

(n k+1)+(n k) = n!/(k+1)!(n-k-1)! + n!/k!(n-k)! = n!(n-k)+n!(k+1)/(k+1)!(n-k)! = n! (n-k+k+1)/(k+1)!(n-k)! = (n+1)!/(k+1)!(n-k)!.