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Ciao Huldre

Ti ricordo che vale il seguente

TEOREMA

Sia ƒ(x) continua e invertibile sull'intervallo I. Sia inoltre x₀ ∈ I : ƒ'(x₀) ≠ 0. Allora la funzione inversa ƒˉ¹(x) [inversa dela funzione ƒ(x)] è derivabile in y₀ = ƒ(x₀) e

(ƒˉ¹(x₀))' = 1/ƒ'(x₀) = 1/ƒ'(ƒˉ¹(y₀))

SE invece ƒ'(x₀) = 0 la funzione inversa ƒˉ¹(x) non è derivabile

Da questo teorema ne discende un "metodo pratico" per verificare se una funzione

ƒ : (α, β) → ℝ

è invertibile su un intervallo, ad esempio lo stesso intervallo di definizione della funzione I := (α, β) è quello di controllare che ƒ sia strettamente monotona sullo stesso intervallo I.

Basterà dunque calcolare la derivata prima ƒ' e verificare che valga una delle seguenti condizioni

ƒ' > 0 ∀ x ∈ (α, β)

oppure, equivalentemente

ƒ' < 0 ∀ x ∈ (α, β)

Se è verificata una sola delle due [ovviamente non entrambe] allora la tua funzione è strettamente monotona su I e pertanto è invertibile su I. Come puoi vedere, lo studio degli intervalli di monotonia della funzione permette di determinare anche gli intervalli di invertibilità.

Come si determina una funzione inversa a partire dall'espressione analitica di una funzione? La domanda non è affatto banale in quento non esiste un metodo standard per determinare la funzione inversa. In genere si può provare a fare dei calcoli per esplicitare la variabile indipendente in funzione della variabile dipendente ma non sempre questo è possibile. Quando ciò non è possibile si dice che la funzione non è invertibile elementarmente. La funzione inversa esiste ma per poterla esprimere bisogna fare ricorso alle funzioni speciali.

Spesso però può essere utile applicare brutalmente il teorema di prima

ottenendo

(ƒˉ¹(x))' = 1/ƒ'(ƒˉ¹(y))

ƒˉ¹(x) = INTEGRALE (1/ƒ'(ƒˉ¹(y))) dy

Spesso però questo integrale non è elementarmente risolubile.

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Veniamo ora al tuo esercizio

ƒ(x) := log₂(x⁵ + 1) + 3ˣ

con banali calcoli possiamo stabilire che

dom ƒ(x) = {x ∈ ℝ : x ∈ (–1,+∞)}

La domanda spontanea è: ƒ è invertibile su tutto il suo dominio? Proviamo a rispondere

ƒ(x) := log₂(x⁵ + 1) + 3ˣ

ƒ'(x) = (5x⁴/((x⁵ + 1)ln(2))) + 3ˣln(3) = (5x⁴ + (x⁵ + 1)ln(2))3ˣln(3))/((x⁵ + 1)ln(2))

studiando ƒ'(x) > 0 scopriamo che ƒ(x) è strettamente monotona crescente su tutto dom ƒ(x) e pertanto ƒ(x) è invertibile sul suo dominio.

Lo possiamo dedurre anche guardando il grafico della funzione:

http://img576.imageshack.us/img576/2338/immaginepw...

A questo punto, applicando il teorema di cui sopra otteniamo

In base al teorema otteniamo che

(ƒˉ¹(x))' = 1/ƒ'(x) = 1/((5x⁴ + (x⁵ + 1)ln(2))3ˣln(3))/((x⁵ + 1)ln(2))) = ((x⁵ + 1)ln(2))/(5x⁴ + (x⁵ + 1)ln(2))3ˣln(3))

(ƒˉ¹(x))' = ((x⁵ + 1)ln(2))/(5x⁴ + (x⁵ + 1)ln(2))3ˣln(3))

ƒˉ¹(x) = INTEGRALE (((x⁵ + 1)ln(2))/(5x⁴ + (x⁵ + 1)ln(2))3ˣln(3))) dx

se riuscissimo mai a risolvere un simile integrale riusciremmo a determinare l'espressione analitica della funzione inversa.

Se ti serve altro fammelo sapere.

Deve essere biiettiva. La funzione in questo caso non è invertibile.

una funzione è invertibile se per ogni x1 esiste una sola f(x1) e per ogni f(x1) esiste un unica x1, ovvere una funzione è invertibile quando è biunivoca o biettiva (che è la stessa cosa), in parole povere se una funzione è strettamente crescente nel suo insieme di definizione allora si può sempre considerare la funzione inversa, invertendo gli assi ovvero scrivendo la x lungo l'asse verticale e f(x) lungo quello orizzontale ( questo significa invertire una funzione, invertire gli assi, e basta semplicemente girare il foglio di 90 gradi).

Se non ricordo male se tu hai una combinazione lineare ( somma di due o più funzioni) di funzioni strettamente crescenti la funzione somme di tutte quelle precedenti è ancora strettamente crescente, lo stesso vale per le funzioni composte, in questo caso tu hai la funzione logaritmo composta con la funzione potenza, più una funzione esponenziale con base positiva, osservando singolarmente queste tre funzioni log in base 2 è strettamente crescente su tutto R, la funzione potenza ( con esponente dispari ) strettamente crescente su tutto R, esponenziale strettamente crescente lungo su R, quindi questa funzione è invertibile su tutto il dominio che è una parte di R e l'inversa vale x= f(y)= 2 ^(radice 5a di y-1) + log3 y

C'è un semplice test: se hai il grafico traccia una retta orizzontale. Poi immagina di farla scorrere dal basso verso l'alto per tutto il grafico. Se questa non incontra mai più di una volta la curva della funzione allora è invertibile.

Esempio: la parabola non è invertibile perchè per ogni y positiva la retta orizzontale la incontra 2 volte.

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