Un condensatore cilindrico di raggio interno R1=0.01m ed esterno R2=0.02m e lunghezza diametro d=0.3m viene caricato alla ddp V=10^3 V.
Determinare:
-la capacità del condensatore nel vuoto C;
-la densità di carica elettrica sull'armature esterna sigma2 ed il campo elettrico E2 immediatamente all'interno di essa;
-l'energia elettrostatica del condensatore U_el ed il massimo valore della densità di energia elettrostatica nel volume del condensatore U_el max;
-la capacità del condesatore C' se esso riempito da un dielettrico di costante dielettrica relativa k=4 e la densità di carica di polarizzazione sigma2 che compare sulla superficie cilindrica esterna del dielettrico se si mantiene costante V.
Disegno: http://www.pctunerup.com/up/results/_201003/201003...
Answers & Comments
Verified answer
La figura è un condensatore cilindrico di lunghezza d, costituito da due cilindri coassiali di raggi R1 e R2, con d >> R2, e carica q sulle armature.
a)
Consideriamo una superficie cilindrica coassiale e applichiamo
il teorema di Gauss:
C = (2 * π * ε0 * d) / ln(R2/R1) = 24 pF
b)
Dalla definizione di capacità di un condensatore si ottiene:
q = C * V = 2,4 * 10^-8 C
e sempre con il Teorema di Gauss:
σ2 = q/(2 * π * R2 * d) = 6,4 * 10^-7 C/m²
E2 = σ2/ ε0= 7,2 * 10^4 V/m
In modo alternativo potevi porre:
E2 = λ / (2 * π * R2 * ε0 ) = (q / d) / (2 * π * R2 * ε0 )
b)
Uel = (C * V²) / 2 = 1,2 * 10^-5 J
uel_MAX = (ε0 * Emax²)/ 2 = (ε0 * E1²) / 2 = 9,2 * 10^-2 J/m^3
dove
E1 = λ / (2 * π * R1 * ε0 ) = (q / d) / (2 * π * R1 * ε0 ) = 14,4 * 10^4 V/m
c)
C’ = k * C = 96 pF
La nuova carica elettrica sulle armature sarà quindi:
q’ = C’ * V = k * q
e allora la densita' di carica libera diventerà
σ2’ = k * σ2 = 25,6 * 10^-7 C/m²
e infine la densita’ di polarizzazione:
σ2’_P = [(k-1) / k ]* σ2’ = 19,2 * 10^-7 C/m²
Assumendo che la lunghezza L del condensatore sia molto maggiore della differenza R2 - R1, e utilizzando il teorema di Gauss applicato ad un cilindro coassiale con il condensatore ed avente raggio r con (R1 < r < R2) si ottiene per il campo E(r) l'espressione:
E(r) = Q/(2πεoL r)
Quindi la ddp fra le "armature" del condensatore vale :
V = Integrale{E(r) dr} fra R1 e R2
Quindi
V = (Q/2πεo L)*ln(R2/R1)
quindi, ricordando che per definizione C = Q/V si ottiene per la capacità del condenstore cilindrico la formula:
C = 2 π εo L/ln(R2/R1) = 24*10^-12 F
Ottenuta la capacità possiamo calcolare la carica Q = C V = 24*10^-9 C e quindi
σ2 = Q/(2πR2*L) = 6,39*10^-7 C/m²
in valore assoluto. Il segno dipende dal segno della ddp fra le due armature.
Il campo E2 = σ2/εo = 72 kV/m
U = (1/2) C V² = 1,2*10^-5 J
La densità di energia w del campo E vale : w = (1/2) εo E^2
quindi è massima nelle prossimità del cilindro interno dove è massimo il campo.
C' = k C = 96 pF
σ2pol = (k - 1) σ2 = 1,92*10^-6 C/m²