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Suponho que você não sabe ainda sobre L'Hopital e derivadas, certo? Note que o limite pedido é a derivada da função ∛(x).

Então, vamos resolver na raça esse limite:

L = lim{h→0} (∛(x + h) - ∛(x))/h

Use a relação a³ - b³ = (a + b).(a² + ab + b²) → a + b = (a³ - b³) / (a² + ab + b²)

Assim:

L = lim{h→0} (x + h - x) / h.(∛(x + h)² + ∛(x + h).∛(x) + ∛(x)²)

L = lim{h→0} 1/(∛(x + h)² + ∛(x² + h.x) + ∛(x)²)

Agora podemos substituir h = 0:

L = 1/(∛(x)² + ∛(x²) + ∛(x)²)

L = 1/3.∛(x)²

Veja que a definição de derivada cabe perfeitamente nesse caso:

dƒ(x)/dx = lim{h→0} (ƒ(x + h) - ƒ(x)) / h

Por isso olhando assim sabemos que este limite trata-se da derivada de ∛(x).

y = lim {h ->0} [³√(x + h) - ³√x]/h

y = [³√(x + 0) - ³√x]/0 => 0/0 [Indeterminado]

Como o limite é indeterminado na expressão acima, podemos fazer uso da regra de L´Hôpital:

y = lim {h ->0} (³√(x + h) - ³√x)' / h' [Derivando em no numerador e no denominador]

y = lim {h ->0} ³√(x + h)'/1' - ³√x'/1'

y = lim {h ->0} ³√(x + h)' - 0

y = lim {h ->0} ³√(x + h)'

Seja u = x + h

du/dh = 1

Pela regra da cadeia:

³√(x + h)' = [d³√u/du] * [du/dh] = 1/[3*³√u²]* 1

³√(x + h)' = 1/[3*³√(x + h)²]

y = lim {h ->0} 1/[3*³√(x + h)²]

y = 1/[3*³√(x + 0)²]

y = 1/[3*³√x²]