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PERMUTAZIONI

Con permutazioni senza ripetizione intendiamo tutti i possibili raggruppamenti che possiamo formare prendendo tutti gli "n" oggetti dati una sola volta. Le permutazioni si calcolano facendo il prodotto di tutti i numeri da "n" ad 1 della serie, e ciò lo si indica con il segno (!) che si legge fattoriale.

Le permutazioni di "n" elementi sono:

P(n) = n!

Prendiamo in considerazione un caso concreto, facciamo le permutazioni di un nome nel quale non si ripetono le lettere:

DARIO

Le permutazioni delle lettere del nome Dario sono tutte i possibili raggruppamenti delle lettere componenti tale nome (ovviamente anche senza significato), ovvero:

DAROI - ARIDO - RIODA - ecc...

Per trovare il numero totale delle permutazioni di tale nome si prende il numero di elementi componenti lo stesso, ovvero le lettere, che sono 5 e se ne fa il fattoriale:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Con ciò significa che le permutazioni del nome "Dario" sono 120.

Fino ad ora abbiamo parlato di disposizioni senza ripetizione. Se una serie di valori avesse tra gli stessi dei valori che si ripetono, bisognerebbe dividere la permutazione degli "n" elementi per il prodotto delle permutazioni degli elementi (α, β, γ, ecc...) che si ripetono.

Pn(α,β,γ) = n! / (α! * β! * γ!)

Prendiamo un nome a caso che contiene delle lettere ripetute:

ROMEO

le permutazioni di Romeo sono:

n = 5

α = 2

(alfa è uguale a due perché ci sono due O, se ce ne fossero state 3, alfa sarebbe stato uguale a 3)

P = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

Se prendessimo un nome con più lettere ripetute, come per esempio:

ALESSANDRO

otterremmo:

n = 10

α = 2

β = 2

P = 10! / (2! * 2!) = 3628800 / 4 = 907200

Una cosa importante è che nelle permutazioni si considerano TUTTI gli elementi dati, a differenza di ciò che avviene nelle disposizioni e nelle combinazioni.

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DISPOSIZIONI

Dati "n" oggetti distinti e detto "k" un numero intero positivo minore di "n", si chiamano disposizioni semplici di questi "n" oggetti presi "k" per volta, cioè di classe "k", tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli "n" oggetti dati in modo che ogni raggruppamento contenga "k" degli "n" oggetti dati e che de raggruppamenti qualsiasi differiscano fra loro per almeno uno degli oggetti in essi contenuti oppure per l' ordine in cui i "k" oggetti sono contenuti.

D(n;k) = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n - k + 1)

Con questo voglio dire che nelle disposizioni non si usano tutti gli "n" oggetti a disposizione, ma un loro sottoinsieme "k". In oltre, a differenza delle combinazioni, conta anche il posto che gli stessi occupano. Per esempio consideriamo le disposizioni delle lettere dell' alfabeto prese a 5 a 5, e diciamo che sono diverse le disposizioni delle seguenti lettere:

(a b c d e) è diversa da (b c a e d), anche se sono composte entrambe dalle prime cinque lettere la loro posizione è differente.

Consideriamo sempre il caso concreto delle lettere, e diciamo che vogliamo trovare le disposizioni delle 21 lettere dell' alfabeto italiano prese a 5 a 5:

n = 21

k = 5

D(21; 5) = 21*20*19*18*17 = 2 441 880

(la prima parte si legge: disposizioni di 21 elementi presi a 5 a 5)

siamo giunti al numero 17 come finale della serie in quanto considerando il caso generale l' ultimo valore dovrebbe essere (n - k + 1) ed in questo caso abbiamo:

21 - 5 + 1 = 16 + 1 = 17

Ora passiamo alle combinazioni con ripetizione.

Dati "n" oggetti distinti, si chiamano combinazioni con ripetizione degli "n" oggetti di classe "k" (anche maggiori di "n") tutti i raggruppamenti di "k" oggetti ciascuno nei quali un oggetto può essere ripetuto fino a "k" volte in modo che due raggruppamenti differiscano fra loro per un elemento almeno oppure per la ripetizione.

D = n^k

In questo caso si considerano anche le ripetizioni degli "n" elementi; e ciò permette di avere disposizioni anche di classe maggiore rispetto al numero totale degli elementi. Prediamo in considerazione il gioco del totocalcio (bisogna fare 13 con 3 elementi a disposizione), dunque:

n = 3

k = 13

La disposizione con ripetizione di 3 elementi presi a 13 a 13 è:

D(3; 13) = 3^13 = 1 594 323

Possiamo fare anche un altro esempio, e cioè le disposizioni con ripetizione delle lettere dell' alfabeto italiano; è ovvio che possiamo scrivere parole che contengano anche lettere uguali e di lunghezza maggiore alle 21 lettere. Una disposizione con ripetizione porterebbe essere anche la seguente (in questo caso non ha significato):

aaaaaaaaaa

e sarebbe una delle possibili disposizioni di 21 lettere prese a 10 a 10, in totale tale disposizioni sono:

D(21; 10) = 21^10 = 16679880978201

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COMBINAZIONI

Dati "n" oggetti distinti e detto "k" un numero intero positivo minore di "n", si chiamano combinazioni semplici di questi "n" oggetti presi k per volta, cioè di classe "k", tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli "n" oggetti dati in modo che ciascun raggruppamento contenga "k" degli "n" oggetti e che due raggrupamenti qualsiasi differiscono per almeno un oggetto.

C(n; k) = (n) = n! / [k! * (n - k)!]

..............(k)

Quello qui sopra è detto coefficiente binomiale, e può essere anche usato per trovare un valore qualsiasi di quelli contenuti nel triangolo di Tartaglia (basta sostituire alla "n" il valore della riga e a "k" quello della colonna)

È indubbiamente importante capire che nelle combinazioni a differenza delle disposizioni il posto NON conta, ovvero:

(a b c d e) è uguale a (d c a b e) perché entrambe sono formate dalle stesse 5 lettere. Infatti si dice che nelle combinazioni la posizione dei "k" valori non conta.

Facendo un esempio concreto possiamo trovare le combinazioni delle 21 letter dell' alfabeto prese a gruppi di 5 (per riprendere il caso di cui sopra, ovvero le prime 5 lettere dell' alfabeto):

n = 21

k = 5

C(21; 5) = 21! / [5! * (21 - 5)!] = (21 * 20 * 19 * 18 * 17 * 16!) / [5! * 16!] =

si semplifica il 16 !

= 21 * 20 * 19 * 18 * 17/ 120 =

= 20 349.

Le combinazioni di 21 elementi di classe 5 sono 20 349.

Passiamo alle combinazioni con ripetizione.

Dati "n" oggetti distinti, si chiamano combinazioni con ripetizione degli "n" oggetti di classe "k" (anche maggire di "n") tutti i raggruppamenti di "k" oggetti ciascuno nei quali un oggetto può essere ripetuto fino a "k" volte in modo che due raggruppamenti differiscano fra loro per un elemento almeno oppure per la ripetizione.

C(n; k) = (n + k - 1) = (n + k - 1)! / [k! * (n + k - 1 - k)!] = (n + k - 1)! / [k! * (n - 1)!]

..............(.....k.....)

Per il resto sono come le le combinazioni senza ripetizione, solo che in questo caso un elemento può essere ripetuto più volte, ovviamente anche qui la posizione NON conta. Infatti se prendiamo la seguente combinazione:

(1 2 3 3 4) = ( 3 2 1 4 3)

Per fare un ulimo esempio prendiamo le combinazioni delle 10 ciffre prese a gruppi di 12 (ovviamente con ripetizione delle ciffre, visto che esse sono solo 10):

C(10; 12) = (10 + 12 - 1)! / [12! (10 - 1)!] =

= 21! / (12! * 9!) = 21 * 20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 / 9! = 293930.

P.S. Nonostanche ciò che comunemente si dice le cassaforti non hanno combinazioni bensì disposizioni